具有未知参数的驱动-响应混沌系统的函数投影同步

郭晓永，郭念

（1.河南工程学院理学院，郑州451191；2.河南大学软件学院，河南开封475004）

具有未知参数的驱动-响应混沌系统的函数投影同步

郭晓永1，郭念2

（1.河南工程学院理学院，郑州451191；2.河南大学软件学院，河南开封475004）

研究了一类具有未知参数的驱动-响应混沌系统的函数投影同步问题，通过设计非线性反馈控制器和相应的自适应律得到了该驱动-响应混沌系统实现函数投影同步的充分条件，并通过构造Lyapunov函数证明了该充分条件的正确性。模拟仿真的结果证实了该方法的有效性。

混沌系统；未知参数；函数投影同步；自适应控制

自从Louis M.Pecora和Thomas L.Carroll提出混沌系统同步理论［1］以来，国内外学者掀起了研究混沌同步的热潮，并将混沌同步用于物理、密码设计、非线性系统辨识、生物信息等领域，这些研究包括完全同步［1］、相同步［2］和投影同步［3］等内容。YAN Jianping和LIChangpin将广义投影同步应用于一类混沌系统［4］。LIGuohui提出了两个相同系统在常数比例矩阵下的修正投影同步［5］。CHEN Yong和LIXin将两个相同混沌系统的修正投影同步推广到函数投影同步［6］。TANG Xinhua，LU Jun'an和ZHANG Weiwei将混沌系统的广义投影同步中的常数比例因子替换为函数比例因子，并得到了驱动响应系统的函数投影同步模型［7］。DU Hongyue，ZENG Qingshuang和WANG Changhong研究了一类参数不确定的混沌系统的函数投影同步［8］。之后，函数投影同步被许多学者运用于各种各样的系统模型中［9-14］。

在文献［10，15-16］的基础上，我们研究了一类具有未知参数的驱动-响应混沌系统，运用Lyapunov稳定性理论，设计了非线性控制器及参数自适应律，使得驱动系统与受控响应系统达到了函数投影同步，并给出了实现同步的充分条件。

1 问题描述

考虑如下驱动-响应系统：

根据同步误差的定义，驱动-响应系统的误差系统为

2 函数投影同步分析

将Lorenz系统［15］

作为驱动系统，其中，x、y、z、w为状态变量，a、b、c、d为未知参数。将受控系统［16］

作为响应系统，其中，x1、y1、z1、w1为状态变量，a1、b1为未知参数，u1、u2、u3、u4为待设计非线性控制律。

3 数值仿真

图1 同步误差ei（t）（i=1，2，3，4）的时间演化

图2 参数估计ˆ、ˆ、ˆ和ˆ的时间演化

图3 参数估计和的时间演化

4 结论

我们研究了一类驱动-响应混沌系统，该驱动系统和响应系统均含有未知参数，对响应系统施加了非线性控制，并研究了该系统的函数投影同步问题，得到实现驱动系统和响应系统同步的充分条件。模拟仿真的结果证明了该控制算法的有效性。

［1］PECORA L M，CARROL T L.Synchronization in Chaotic Systems［J］.Physical Review Letters，1990，64（8）：821-824.

［2］王兴元.复杂非线性系统中的混沌［M］.北京：电子工业出版社，2003：12.

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［4］YAN J P，LIC P.Generalized Projective Synchronization of a Unified Chaotic System［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2005，26（4）：1119-1124.

［5］LIGH.Modified Projective Synchronization of Chaotic System［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2007，32（5）：1786-1790.

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［8］DU H Y，ZENG Q S，C.WANG C H.Function Projective SynchronizationofDifferentChaoticSystemswith Uncertain Parameters［J］.Physics Letters A，2008，372（33）：5402-5410.

［9］DU H Y，ZENG Q S，WANG C H.Modified Function Projective Synchronization of Chaotic System［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2009，42（4）：2399-2404.

［10］鲁翠仙，郭晓永.具有耦合时滞的时变复杂动态网络的函数投影同步［J］.新乡学院学报，2014（2）：1-4.

［11］LI J F，LIN.ModifiedFunctionProjective Synchronization of a Class of Chaotic Systems［J］.Acta Physica Sinica，2011，60（8）：080507-1.

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［13］WANG J A，LIU H P.Adaptive Modified Function ProjectiveSynchronizationofDifferentHyperchaotic Systems［J］.Acta Physica Sinica，2010，59（4）：2265-2271.

［14］LIAOTL，LINSH.AdaptiveControland Synchronization of Lorenz Systems［J］.Journal of the FranklinInstitute（Engineering and Applied Mathematics），1999，336（6）：925-937.

［15］CHEN A M，LU J h，LYU J H，etal.Generating Hyperchaotic Lü Attractor Via State Feedback Control［J］. Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2006，364：103-110.

［16］WANG X，WANG M.A Hyperchaos Generated from Lorenz System［J］.Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2008，387（14）：3751-3758.

【责任编辑 王云鹏】

Function Projective Synchronization of Drive-response Chaotic Systems with Unknown Parameters

GUO Xiaoyong1，GUO Nian2
（1.College of Science，Henan University of Engineering，Zhengzhou 451191，China；
2.College of Software，Henan University，Kaifeng 475004，China）

A function projective synchronization of drive-response chaotic systems with unknown parameters was investigated.The nonlinear feedback controllers and the corresponding adaptive laws were designed to obtain the sufficient condition for the function projective synchronization.The correctness of sufficient condition was proved by the constructed Lyapunov function.Finally，the effectiveness of the scheme was verified through numerical simulations.

chaotic systems；unknown parameters；function projective synchronization；adaptive control

O231

A

2095-7726（2015）12-0007-03

2015-08-28

河南工程学院博士基金资助项目（D2015003）

郭晓永（1975-），男，河南镇平人，教授，博士，研究方向：控制理论。