一种快速非线性海浪数值仿真方法

王　岚，周霖仪，聂卫东

（1.中国船舶重工集团公司 第705研究所，陕西 西安，710075；2.中国舰船研究院，北京，100192）

一种快速非线性海浪数值仿真方法

王岚1，周霖仪2，聂卫东1

（1.中国船舶重工集团公司 第705研究所，陕西 西安，710075；2.中国舰船研究院，北京，100192）

在海面微波散射等海洋军事研究领域，关于非线性海浪的数值仿真问题日益受到重视。在借鉴已有研究成果的基础上，提出了一种快速的非线性海浪数值仿真方法，其基本思想是依据非线性海浪的统计特性对线性仿真数据进行非线性修正，从而得到所需结果。通过采用基于JONSWAP谱的线性滤波并依据B分布特性进行非线性修正的方法对深水无破碎二维非线性海浪进行数值仿真。分析表明，该方法能够快速而有效地模拟非线性海浪，所得仿真数据不仅体现了非线性海浪波面位移的偏态分布特性，而且在波动能量分布上，仿真结果与JONSWAP谱所代表的海浪记录接近。

非线性海浪；JONSWAP谱；B分布；非线性修正

0　引言

迄今所提出的种种海浪线性模型都是将海浪描述为线性小振幅简单波动的叠加，并假定作为组成波的这些简单波动是随机而相互独立的，

叠加结果为具有各态历经性的平稳正态过程，以此过程描述海浪即构成所谓线性海浪模型［1-4］。虽然这种模型具有理论推证完备和应用方便等优点，但它对海浪的描述与实际海浪现象是有偏差的，实际的海浪振幅相对于波长并不小，波面位移的概率分布是偏离正态的，而这种偏离反映了非线性的存在，可粗略地理解为这种非线性产生于波-波间的非线性相互作用，这种作用导致波-波间的能量转移或产生新的波动［5］。非线性海浪的理论研究包括相互联系的2个方面，一是从物理机制的角度研究波-波间的非线性相互作用；二是研究这种作用所产生的一些偏离正态的海浪统计特征，如偏度和峰度等。波-波间相互作用物理机制的研究在理论和应用上都很重要，但将这项研究的方法和结果直接用于非线性海浪的数值仿真是困难的。因此，一种可行的方法是根据海浪的非正态分布特性直接对线性仿真的结果进行修正，从而有效地进行非线性海浪的数值仿真。刘新安提出了一种非线性修正方法［6］，其依据为非线性海浪的A型Gram-Charlier级数形式分布［7］；Azed Jean-Pierre在其博士论文中，依据非线性海浪的B分布采用Monte Carlo法进行非线性海浪数值仿真［8］，研究了其在海面探测微波散射方面的应用。近年来，非线性海浪数值仿真方面的研究不算活跃，但仍有一些物理或视觉仿真的新方法不断涌现，在一些综述性的文献中有所论及［9-10］。

文中按照上述思想探讨了深水无破碎2D非线性随机海浪的数值仿真，给出了一种基于JONSWAP谱进行线性滤波和依据B分布进行非线性修正的仿真方法，通过对仿真结果的分析，表明此方法具有快速而有效的优点，对某些工程实际问题具有应用参考。

2　海浪波面位移的B分布

实际海浪波面位移的统计分布是非正态的，这已被大量海上和实验室的观测结果所证实。虽然在一般情况下，以线性模型或正态过程为近似对许多实际问题的研究可以取得良好的结果，但随着海洋科技的发展，特别是海洋遥感和海洋军事技术的发展，正态过程的近似已经不能适应需求，因此海浪特征量非正态分布的研究日益受到重视。M.A.Srokosz对一水库中测得的风浪试验数据进行分析［11］，发现波面位移分布与随机变量的Pearson分布族中的I型符合得很好［4］，其概率密度函数（probability density function，PDF）与M.S.Longuet-Higgins［12］和M.Aziz Tayfun［13］推导的2种形式的非正态PDF相比较，具有形式简单且不会出现无意义的局部负值情况的优点，因此应用前景较好。Srokosz推导的PDF通过变量代换可化为更为熟悉的B分布形式。下面不采用Srokosz的推导步骤，而以另一种更为简便的方法加以推导。

判断Pearson分布类型的参数为

其中，Γ函数由下式确定

对式（2）作变量代换x=（z-r1）（r2-r1），则得到标准的B分布形式

其中，B函数由下式确定

与式（10）对应的标准B分布形式的累积分布函数（cumulative distribution function，CDF）为

式（12）即为非线性海浪数值仿真时对线性（正态）海浪仿真结果进行修正的计算式。

3　线性（正态）随机海浪数值仿真的非线性修正

设线性随机海浪的波面位移为η，将其进行标准化处理，即w=（η-Eη）ση。根据线性海浪理论，w遵从标准正态分布，其PDF为

对应的CDF为

依据文献［6］的论述，现假定标准化非线性海浪波面位移z与w存在某一函数关系：z=g（w）。根据波数守恒定律，对于不破碎波浪，g（w）为单调上升函数，则由概率论有

对式（15）积分，并注意积分限，得

就可以进行线性海浪的非线性修正了。由线性海浪的Longuet-Higgins模型［2］易证，2D海浪波面位移为一零均值的平稳正态随机过程，通过数值仿真解算出线性海浪瞬时固定点标准化波面位移序列w（tn），然后利用式（16）反推非线性海浪瞬时固定点标准化波面位移序列z（tn），从实测数据中得到具有一定偏度的海浪波面位移的均值Eζ和方差σζ，由标准化运算的逆运算得到一段时间内固定点非线性海浪波面位移的数值仿真结果。

关于线性海浪的数值仿真，文献［14］中有较为详细的论述。这里采用线性滤波法进行计算，线性滤波法的最大优点在于计算脉冲响应函数和该函数与白噪声的卷积时可以采用快速（逆）傅里叶变换算法，从而极大提高计算速度。因为JONSWAP谱的数据基础较为充分，适用面较广（甚至在飓风条件下仍适用），且考虑了风区参数，所以选取JONSWAP谱作为成形滤波器。值得注意的是JONSWAP谱表达式中峰频前后有一参数不同，因此在离散化处理时必须先分两部分进行，而后再合成为一个整体作傅里叶变换。线性滤波法的理论计算式为

其中：SJ（ω）为JONSWAP谱；ω为波动的圆频率；W（t）为白噪声，在实际计算时用程序产生的一系列独立的标准正态分布随机变数作为离散的白噪声序列来逼近理想白噪声。

在MATLAB环境下计算6 000个点（相当于约100 min的波面位移记录）约需1 s，与其他方法比较起来速度非常快。

4　非线性随机海浪数值仿真结果分析

数值仿真计算前选取JONSWAP谱中的海况参数（风速、风区、峰升因子等），首先得到的是线性结果，对线性结果进行非线性修正时由于缺乏相应海况下的实际观测数据，文中采取了一种简便且不影响结论的折中方法：在海浪弱非线性的理论前提下，选取一定的波面位移分布偏度和峰度，由线性仿真结果进行修正得到的标准化非线性海浪波面位移序列估计频谱，将JONSWAP谱峰值除以此谱峰值得到一个功率（能量）比例系数，而后将标准化非线性海浪波面位移序列乘以此比例系数的平方值，这样便得到了所要的非线性波面位移仿真结果，这样处理的前提是非线性修正的波面位移必须与JONSWAP谱所代表的海浪记录具有相同的波动能量。

在线性滤波法计算中随机白噪声序列体现了海浪的随机性，现以任意一次仿真结果来进行分析：选取的风速u=19 m/s ，风区x=50 000 m，峰度因子取平均值γ=3.3，图1显示了仿真得到的2D线性随机海浪波高时间序列和局部放大图，图2和图3分别为线性和非线性仿真结果估计谱S（ω）（称为实现谱）与JONSWAP谱的对比，图4为非线性修正后的海浪波高时间序列和局部放大图。

图1　线性滤波仿真的2D波面位移序列及其局部放大Fig.1　Two-dimensional elevation of wave surface obtained by linear filtering and the enlarged partial view

图2　线性实现谱与靶谱的对比Fig.2　Comparison between linear simulation spectrum and target spectrum

图3　非线性实现谱与靶谱的对比Fig.3　Comparison between nonlinear simulation spectrum and target spectrum

图4　非线性修正后得到的2D波面位移序列及其局部放大Fig.4　Two-dimensional elevation of wave surface ob tained by nonlinear correction and the enlarged partial view

线性仿真结果反映了线性随机海浪外观上和统计上的特征，即波面位移表现为上下对称，其均值为2.2×10-5m，接近零，对于线性海浪，可以预见波面位移的偏度和峰度应分别为0和3，这2个参数线性仿真结果分别为0.007 1和2.900 5，接近理论值。非线性修正的输入偏度为0.55，峰度仍为3，输出为0.558 5和3.033 1，相当接近输入值，波面位移表现为波峰部分陡峭而高，波谷部分平缓而浅，具有明显的偏态分布特征。线性和非线性仿真的实现谱都是标准的傅里叶谱，前者与JONSWAP谱有一定的偏差，并且每次仿真出现的偏差（如峰频偏移、多谱峰、高频部分振荡等）均不同，这反映了随机白噪声序列的影响，因为对理想白噪声的逼近本身就带来随机的偏差，值得注意的是非线性实现谱与JONSWAP谱的吻合程度好于线性实现谱，这并非偶然的一次结果，多次重复仿真都表现出这一特征，一种可能的解释是：在线性随机海浪理论框架内提出的JONSWAP谱是半理论、半经验的，虽然不是严格的傅里叶谱，但也是通过线性的统计方法拟合得到的，作为其数据来源的实际海浪观测记录本身就具有非线性（在统计上主要指偏态分布）的因素。因为非线性数值仿真的结果比线性仿真结果更为接近实际海浪，所以非线性实现谱也应更为接近JONSWAP谱。

5　结束语

非线性随机海浪数值仿真的应用正日益广泛，但其中理论上和技术上还有许多没有克服的困难。文中以一种简便的方法对非线性的深水二维无破碎风浪进行了数值仿真，分析表明，数值仿真结果在统计意义上较为接近实际状况，非线性实现谱与JONSWAP谱吻合较好，也表明仿真结果在波动能量分布上与JONSWAP谱所代表的海浪记录接近，达到了预期的效果。同时，仿真计算简便快速，可为一些工程应用提供参考。

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［14］徐德伦，于定勇.随机海浪理论［M］．北京：高等教育出版社，2001．

（责任编辑：许妍）

A Fast Simulation Method for Nonlinear Ocean Wave

WANG Lan1，ZHOU Lin-yi2，NIE Wei-dong1
（1.The 705 Research Institute，China Shipbuilding Industry Corporation，Xi′an 710075，China；2.China Ship Research and Development Academy，Beijing 100192，China）

Great emphases have been put on simulation of nonlinear ocean wave in some navy projects.This paper presents a fast method for simulating nonlinear ocean wave in deep sea.The basic idea of this method is to nonlinearly correct the linear simulation data according to the statistic characteristics of nonlinear ocean wave.First，a white noise is filtered by JONSWAP filter to obtain linear result.Then，the linear result is corrected to nonlinear one based on B-distribution characteristics to simulate the blue water two-dimensional unbroken wave.The wave data computed by this method shows the non-normality of real ocean wave.The power spectrum estimated from the nonlinear result is fairly close to JOSWAP spectrum，which indicates that the simulated wave energy distribution accords with the real wave data.

nonlinear ocean waves；JONSWP spectrum；B-distribution；nonlinear correction

P731.22；E993.1

A

1673-1948（2015）04-0316-05

2015-04-01；

2015-06-04

王岚（1971-），女，高级工程师，研究方向为鱼雷总体设计技术、控制技术等.