借用“数形结合”巧解数学问题

朱若兰

【摘 要】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。“数形结合”不仅是一种重要的数学思想，也是一种行之有效的教学方法，在促进学生思维能力的发展方面有着不可忽视的作用。

【关键词】小学数学;数形结合;解题

数形结合思想是一种重要的数学思想。数形结合就是通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合，可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，是抽象思维与形象思维结合。有些数量关系，借助于图形的性质，可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化;而图形的一些性质，借助于数量的计量和分析，得以严谨化。著名数学家华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形无数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。“数形结合”不仅是一种重要的数学思想，也是一种行之有效的教学方法，在促进学生思维能力的发展方面有着不可忽视的作用。笔者结合自己的教学实践， 谈谈数形结合在数学教学中在运用和体会。

一、见形想数，体现直观

数学学习内容的一个重要方面就是关于算理、法则、规律的认识和运用，代数知识和几何知识同样包含许多规律性的知识。这些知识的学习和把握往往比较抽象和深奥，数形结合可在一定程度上减缓学生认识上的难度。

[例1]乘法分配律

在乘法分配律的教学中，出示图形：

提问：图中大长方形的面积可以怎样计算？学生思考后不难想到这两种方法：一是用左边长方形的面积加上右边长方形的面积，算式表示为a×c+b×c，另一种是先算出大长方形的长，再用长乘宽算出大长方形的面积，算式表示为（a+b）×c。这两种算法都能求出大长方形的面积，所以a×c+b×c=（a+b）×c，这恰好就是乘法分配律的字母表达式。

由于乘法分配律内在的算理对于小学生来说比较复杂，加之变式较多，是五大运算定律中最难理解、最难掌握的运算定律。案例中教师借助几何图形面积计算的例子既让学生形象地记住乘法分配律的表达式，又加深了对乘法分配律算理的理解。不难看出，在这种情况下“数”与“形”的结合，有助于降低学生对知识掌握的难度。

二、见数思形，化繁为简

在数学教学中，经常会有一些复杂的代数问题。这时，如果能过借助图形，巧妙地将复杂的代数问题转化为熟悉的图形问题，那么就能促使学生的思维再上新台阶，从而充分体现“数形结合”在数学学习中的好处。

[例2]+++=？

教师出示题目后，让学生尝试练习。绝大多数学生采用通分的方法，把这些分数化成分母是16的分数，极个别的学生采用把分数化成小数的方法。教师继续提问：还有其他的方法吗？没有学生举手。这时，教师出示一个正方形，指出把这个正方形的面积看做“1”，那么这道算式在图中该怎么表示呢？学生边说边在图中表示出相应的部分，如图：

通过观察图形，学生很容易明白：阴影部分的和，正好等于一个正方形减去空白部分所得的差。也就是+++=1-=。在此基础上，教师引导学生观察算式的特点。接着，教师让学生观察简便运算的过程，学生发现：用1减去最后一个分数就行了。最后，学生总结出计算这类算式的规律：分子是1，后一个分数的分母是前一个分数的两倍，求这样一组分数的和，只要用1减去最后一个分数就得出了结果。

以上案例中，教师先放手让学生尝试练习，学生虽然计算出结果，但计算过程比较繁琐，容易出错。这时，教师将“数”（枯燥的算式）巧妙地转化为“形”（规则的图形），学生很容易就想出了更简便的解题方法。今后，再遇到类似的算式，学生就能很快想到这个图形。

三、数形结合，解决疑难

在解决问题的教学中，特别是碰到稍难一点的题目，有时单靠分析，可能学生也并不一定能够理解，而且教师讲解起来费力又费时，这时我们可以借助图形来帮助学生理解题意，巧妙解题。

[例3]鸡兔同笼问题

“鸡兔同笼，有10个头，34条腿。鸡、兔各有多少只？”教师设计了一个简单易行的方法———画图法。

先画10个圆表示10个头，

假设笼子里都是鸡，每只鸡有2条腿，就用2根竖线表示。一共画了20条腿，少了14条腿。

把兔子看成鸡，每只兔子少了两条腿，再2条2条地画上14条。

这样一眼看出有7只兔子，3只鸡。

案例中教师通过引导学生画图，让学生观察图画中直观的“形”（头和腿），去理解问题中抽象的“数”（隐含的数量关系），学生以后对这类题目的第一感觉不再是畏难，而是觉得有趣，更有信心找到合适的方法去解决它。

总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。“数形结合”作为一种基本的数学思想方法，对于学生来说“不管他们将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，随时随地发生作用，使他们受益终生”。endprint