数形结合在初中数学中的应用

王艳

【摘 要】 初中学生的思维方式是从形象到抽象的过渡，而“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它是初中数学重要的一种思想方法。本文从“以形助数”、“以数解形”两方面阐述了数形结合在初中数学中的应用。

【关键词】数形结合;以形助数;以数解形

数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，本文从“以形助数”、“以数解形”两方面阐述了数形结合在初中数学中的应用。

一、以形助数，直观形象

解决数学上数量关系的问题主要体现在把抽象的理论知识转化为适当的几何图形，巧妙地用图形来表达抽象的数学知识，有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法。数形结合思想方法的培养应从初一引入数轴开始。

（一）利用方程解决实际问题中的数形结合

列方程解应用题中的行程问题一直是初中学生解题中的难点， 困难之处在于如何根据题意寻找等量关系列出方程， 要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的行程图，这里隐含着数形结合的思想方法。

例1、某班同学去距学校18千米的北山郊游，只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车，乙组步行，车行至A处，甲组同学下车步行，同时汽车返回接乙组同学，最后两组同学同时到达北山站。已知汽车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，若不考虑学生上下车耽误的时间，求A点到北山站的距离。

分析：此题为行程问题中难度较大的一类题，难点在于题目中的等量关系不好找，即使找到等量关系为甲组从A点到北山的时间=汽车从A点返回接乙组直到到达北山的时间，但也不好表示等量关系。画出行程图（图1），不妨设学校到A点的距离为x千米，A点到北山的距离为y千米，则x+y=18。

甲组到达A点的时间表示为小时，A点到达北山的时间表示为小时，同时甲组到达A点时乙组所走路程表示为4=千米。乙组和汽车相遇的时间为=x小时，汽车从A点返回与乙组相遇的路程为x·60=x千米，汽车从A点返回接乙组直到到达北山的时间为（x+）小时。所以可列出二元一次方程组x+y=48

x+

=解之得x=16

y=2。

利用数形结合， 可使得复杂的实际应用题变得清楚，明白。

（二）不等式（组）中的数形结合

在不等式（组）的教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，教师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式（组）解的情况，这里也蕴藏着数形结合的思想方法。

（三）函数中的数形结合

借助图像研究函数性质是一种常用的方法就是数形结合，函数图像的几何特征与数量特征紧密结合有助于理解题意，探求解题思路，检验解题结果。

例3、如图3，已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（-2，4），B（8，2），则能使y1

分析：函数的题目本来可以用代数方法求解，很多学生都想到分别求出y1、y2的解析式，然后解一个不等式即可求。但是本题只给出了两个交点的坐标，不能求出二次函数的解析式，故代数方法不可取。由图像，通过数形结合立马可得当-2

二、以数解形，简单明了

数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，即“以数助形”就是将图形信息转化为代数信息，使要解决的几何问题化为数量关系来实现“数形结合”。

（一）数与式中的数形结合

北师大版第三章“整式及其加减”的第5节是探索与表达规律，我们必须学会分析图形位置序号与图形本身一种联系，将几何图形变化情况进行数字化、 代数化， 这就是 “以数解形”。

例4、如图4是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子.观察图形的变化规律，第7个小房子用的石子数量为（ ）

A.87 B.77 C.70 D. 60

分析：第①个图形，（1+4）颗;第②个图形，（3+9）颗;

第③个图形，（5+16）颗;第④个图形，（7+25）颗;……

从前4个图形中得到的数字可知，结果分为两部分，前一部分是与图形序号对应的奇数2n-1，后一部分是与图形序号对应的（n+1）2，所以由数解形即可得出第7个小房子用的石子数量为（2×7-1+82=77）颗。

（二）多边形中的数形结合

在解决几何题时，我们通常利用图形的特殊性，通过“数形结合”，发掘特殊几何位置的代数意义，演绎数量关系描述的几何属性，这是几何计算题常用一种方法。

【参考文献】

[1]郑毓信，梁贯成.认知科学、建构主义与数学教学[M].2002-12上海教育出版社

[2]任惜芬，刘堤仿.“‘利用数形结合解决数学问题教学设计”的评析[J].2008-5杭州师范大学教师教育研究endprint