小波分析实现图像去噪

李曼

摘要：该文描述了根据Mallat二维快速算法，使用小波函数对含有噪声的图像进行分解去噪；描述使用软阈值方法进行阈值去噪；根据小波分解的最底层低频系数和各层高频系数进行二维小波重构，从而得到去除噪声图像。

关键词：二维小波变换，二维Mallat快速算法，近似系数，细节系数，小波分解重构去噪

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）05-0196-02

Wavelet Analysis in Image De-noising

LI Man

（Computer Center ，School of Mathematics and Computer Science， Jianghan University，Wuhan 430056， China）

Abstract： Described in this paper based on Mallat fast algorithm for two-dimensional， Using Wavelet function is to decompose the noise image and de-noising. Describe the use of soft threshold method of threshold de-noising. According to the low-frequency coefficients of the lowest layer and high-frequency coefficients of the layers， getting on wavelet reconstruction， resulting the de-noising image.

Key words： two-dimension wavelet transform；two-dimension Mallat fast Algorithm；approximate coefficients；detail coefficients；wavelet decomposition and reconstruction de-noising

由CCD（摄像头）获得的图像经过D/A（数/模转换）转换、线路传送等等都会产生噪声污染，图像质量降低。而图像信号能量主要集中在低频部分，噪声集中在高频段。为了去除噪声对图像进行平滑，采用低通滤波方法去除高频干扰。本文描述了选择合适的小波基函数和小波分解层数J，用MALLAT快速分解算法对含噪图像进行2层分解，得到小波分解系数。对于分解的每一层，选择一个合适的阈值和阈值函数将分解得到的高频系数进行阈值量化，得到估计小波系数。用MALLAT重构算法对经小波分解后的第2层低频系数（尺度函数）和经过阈值量化处理的各层高频系数（小波系数）进行小波重构，得到去噪后的图像。

2 小波去噪

小波对含噪的原始信号分解后，含噪部分主要集中在高频小波系数中，有用信号通常表现为低频信号。本文对信号的消噪过程分别选择小波函数sym4和db2，并加以比较。

2.1 基于小波分解图像去噪

离散小波变换是将信号分解为低频部分（近似系数）和高频部分（细节系数）。在第一层中，分解成低频cA（1）和高频cH（1）、cV（1）、cD（1）；在第二层中，对低频部分cA（1）再次分解成低频cA（2）和高频cH（2）、cV（2）、cD（2），在第三层中，对低频部分cA（2）再次分解，如此下去。如果进行2层分解，得到近似系数（尺度系数cA（2））和各层的细节系数（小波系数）。使用母小波sym4对含噪图像矩阵X进行2层分解[C，L]=wavedec2（X，2，'sym4'），得分解系数矩阵C和分解系数长度矢量矩阵L，C=[A（2）|H（2）|V（2）|D（2）| H（1）|V（1）|D（1）]。行向量A、H、V、D分别对应图像矩阵X的近似系数，细节系数的水平、垂直及对角分量。利用指定的母小波sym4对分解函数wavedec2（）得到的C和L重构第2层的分解图像得a2=wrcoef2（'a'，C，L，'sym4'，2），取值a为重构图像的近似系数a2。显示近似系数图像并与原图比较，计算信噪比为13.8422。

2.2 基于小波阈值函数去噪

根据图像和噪声在小波变换各尺度上的小波系数具有不同特性的特点，按给定的阈值处理小波系数，可以采用硬阈值法或软阈值法，对得到的估计小波系数进行小波重构重建原始图像。本文采用软阈值方法，其软阈值函数定义为：

其中 [ωj，k]为第j尺度下的第k个小波系数，[ωj，k]为阈值函数处理后的小波系数，λ为阈值。小于阈值的小波系数是由噪声引起的，大于阈值的小波系数，是由图像引起的。当小波系数的绝对值大于给定阈值时，令其减去阈值，否则令其为0。阈值的取值起到了决定性作用，如果太小，施加阈值后的小波系数仍包含有噪声成分，未达到去噪效果，如果太大，又去除了有用信号。本文采用数学模型[thr=2log（n）*σ]来获取各层的默认阈值（thr1，thr2），其中n为信号的长度，噪声强度[σ]可以使用wnoisest函数通过各层的细节系数估算得到[σ]=wnoisest（C，L，N）。对小波分解结构[C，L]获得的各层高频小波细节系数进行阈值去噪处理得到系数NC=wthcoef2（'t'，C，L，N，P，'s'）。尺度向量N=[1，2]表示在1、2层阈值去噪，阈值向量取值为P=[thr1，thr2]。利用母小波sym4实现经过阈值消噪处理后得到的小波系数矩阵进行图像重构X1=waverec2（NC，L，'sym4'）。计算阈值消噪后的信噪比为16.0969。与基于小波分解图像去噪获取的重构图像近似系数计算的信噪比相比，经过阈值处理后的图像去噪效果要好。

2.3 小波函数的选取

使用小波基函数db2对上述含噪图像进行同样小波分解图像处理和阈值去噪处理，计算的信噪比分别为13.7353和15.5566，由此得出sym4小波处理含噪图像效果要好。dbN 类是紧支正交小波，正则性随着N的增加而增加，但该小波对称性较差，导致信号在分解与重构时失真。symlet小波系是近似对称的一类紧支正交小波函数，具有dbN小波系的良好特性，对称性有所改进，使该小波系在处理信号时避免不必要的失真。

3 结束语

不同小波函数对信号处理得到不同的效果。小波函数的选取主要考虑其对称性、正则性、紧支撑性。既要避免信号在分解重构时相位失真，又要考虑其正则性，正则性越高小波基越光滑，小波系数重构越稳定，而且具有紧支撑的小波基收敛速度快，局部化能力强，有利于确定信号的突变点。

参考文献：

[1] 杨丹， 赵海滨. Matlab图像处理实例详解[M]. 北京： 清华大学出版社， 2013.