BD不同分布的随机变量和的大偏差

赵 博，华志强

（内蒙古民族大学数学学院，内蒙古　通辽　028043）

BD不同分布的随机变量和的大偏差

赵 博，华志强

（内蒙古民族大学数学学院，内蒙古通辽028043）

随机变量序列和的尾概率性状研究是保险精算领域的热门问题之一，而随机变量序列的和的精确大偏差则精确刻画了其尾概率的极限性态.研究长尾上带有二元负相依结构的随机变量和的精确大偏差，得到了随机变量的确定和及随机和的两种一致变化的尾概率的相应结论.

大偏差；尾概率；长尾；二元相依

分布函数F（x）是研究概率问题的重要工具，但其尾分布函数F（x）=1-F（x）在研究的过程中也起着非常重要的作用，尤其是具有特殊性质的长尾分布函数近年来在金融工程、数量经济等领域都有着广泛的应用.因此，有必要对长尾分布进行深入研究.文献［1］研究了独立同分布的带有延拓正则变化尾分布族的随机变量的随机和的精确大偏差；文献［2］研究了独立同分布的带有一致变化尾分布族的随机变量的和的精确大偏差；文献［3］研究了独立同分布的带有长尾分布族的随机变量的和的精确大偏差.文献［1-3］中结论成立的基础条件是独立同分布，文献［4］和文献［5］分别研究了独立不同分布的正则变化尾分布族上的随机变量的确定和和随机和的精确大偏差；文献［6］研究了非独立的、不同分布的一致变化尾分布族的随机变量的和的精确大偏差；文献［7］引入了二元相依（BD）的概念.设｛X，Xn，n≥1｝为一个不同分布的随机变量序列，对应的分布函数分别为相互独立的取非负整数值的计数过程，且的前n个随机变量的确定和，St｝的随机和.本文在上述文献和符号的基础上讨论了长尾分布族上带有二元相依结构的随机变量的确定和Sn和随机和SNt的大偏差.

1　预备知识

定义1［1］称某一随机变量X或者其分布函数F（x）属于正则变化尾分布族的，如果对于某个α＞1及任意的实数y，有：

成立.

则称随机变量X（或分布函数F（x））是服从延拓正则变化分布族的.

定义3［2］称某一随机变量X或者其分布函数F（x）属于一致变化尾分布族的，当且仅当：

定义4［3］称非负分布函数F（x）属于长尾分布族的，如果对任意的y∈（-∞，∞）有：

由文献［9］知，三类分布族之间的包含关系为：长尾分布族最大，其次是一致变化尾分布族，再次是延拓正则变化分布族，最后是正则变化尾分布族.

定义5［8］若一个随机变量序列｛Xn，n≥1｝满足：对于任意的i，j=1，2，…，且i≠j有：

成立，称随机变量序列｛Xn，n≥1｝是二元相依的（BD）.

2　BD确定和的大偏差

定理1 设｛Xn，n≥1｝为一个二元相依的（BD）的随机变量序列，｛X，Xn，n≥1｝各自对应的分布函数为｛F（x），Fn（x），n≥1｝，且所对应的分布函数都是长尾分布族，满足假设条件A1：

对于某个常数a＞0，当x≥a时有：

3　BD随机和的大偏差

给出一个假设条件：当t→∞时，对于任意的δ＞0和任意小的ε＞0有：

定理2 设｛Xn，n≥1｝为一个二元相依的（BD）的随机变量序列，｛X，Xn，n≥1｝各自对应的分布函数为｛F（x），Fn（x），n≥1｝，且所对应的分布函数都是长尾分布族，满足假设条件A.

设X的方差存在，｛X，Xn，n≥1｝独立于取非负整数值的随机过程｛Nt，t≥0｝.假设｛Nt，t≥0｝满足假设条

［1］TANG Q H，SU C，JIANG T，et al.Large deviations for heavy-tailed random sums in compound renewal model［J］.Probability and Statistics Letters，2001，52：91-100.

［2］NG KW，TANG Q H，YANG J A，et al.Precise large deviation for sums of random variables with consistently varying tails［J］.Journal of Applied Probability，2004，41（1）：93-107.

［3］KONSTANTINIDES D，LOUKISSAS F.Precise large deviations for long-tailed distributions［J］.Journal of Theoretical Probability，2012，25：913-924.

［4］PAULAUSKAS P，SKUCAITE A.Some asymptotic results for one-sided large deviation probabilities［J］.Lithuanian Mathematical Journal，2003，43（3）：318-326.

［5］SKUCAITE A.Large deviations for sums of independent heavy-tailed random variables［J］.Lithuanian Math，2004，44（2）：198-208.

［6］LIU L.Precise large deviations for dependent random variables with heavy tails［J］.Probability and Statistics Letters，2009，79：1290-1298.

［7］杨少华，于海芳，华志强.二元相依随机变量和的精确大偏差［J］.江汉大学学报（自然科学版），2013，41（3）：23-25.

［8］华志强.多元重尾大偏差及位相型破产概率［M］.哈尔滨：哈尔滨地图出版社，2013.

责任编辑：时 凌

The Random Variables and the Large Deviation of BD Different Distribution

ZHAO Bo，HUA Zhiqiang
（College of Mathematics，Inner Mongolia University for the Nationalities，Tongliao 028043，China）

Study on the properties and the tail probability of random variable sequence is one of the hot issues in the field of insurance actuarial，whereas random variables sequences and the precise large deviations accurately depict the tail probability of blame.Research on the long tail with dual negative dependency structure of random variables and the precise large deviations，obtained the determination of random variables and random and changes of two kinds of consistent tail probability of the corresponding conclusion.

large deviation；tail probability；long tail；binary dependency

O211.5

A

1008-8423（2015）04-0396-03DOI：10.13501/j.cnki.42-1569/n.2015.12.010

2015-11-03.

内蒙古民族大学科学研究基金项目（NMDTB1436；NMDTB1437）.

赵博（1987-）男，硕士，主要从事概率论与数理统计的研究.