一个四维混沌电路系统及其在保密通讯中的应用

龙志超，马大柱

（湖北民族学院理学院，湖北　恩施　445000）

一个四维混沌电路系统及其在保密通讯中的应用

龙志超，马大柱*

（湖北民族学院理学院，湖北恩施445000）

四维系统的Lyapunov指数中有一个大于0，即表明该系统是混沌系统.利用Multism软件设计了该混沌系统的模拟电路图，采用驱动响应式方法完成了系统的混沌同步，并给出了两种图片保密通讯方案，数值模拟表明图片数字化后与混沌信号同步传输比混沌信号对像素点位运算加密方法的效果要好.

图片加密；混沌电路；混沌同步

混沌理论在工程应用领域主要关注两个方面的研究，一是混沌控制与同步，目前已发展了多种混沌同步方法［1-4］；二是混沌电路在保密通讯中的应用，加入混沌信号后可提高保密通信的安全性，而且混沌系统还具有强大的存储容量和鲁棒性等优点［5-8］.基于此，本文讨论一个四维混沌电路系统及其在加密技术中的应用.

1　数学模型

文献［9］提出了一个四维系统，其基本形式如下：

该系统是在三维混沌系统中加入一个反向控制器得到四维系统，在上述参数条件下，其为混沌系统.这一点从系统的Lyapunov指数可以反映出来.以四阶龙格库塔法为基本数值工具，状态变量的初值均取为0.1.任取两个平面可观察系统的相空间结构.图1给出的是x-z平面和y-w平面，图中出现了双涡卷结构，表明系统是混沌的.计算Lyapnov指数也可证明该系统的混沌性，如图2所示.4个Lyapunov指数中Ly1大于0，Ly2、Ly3和Ly4均小于0，按照Lyapnov定理，该系统呈现混沌状态.

2　电路设计

图1　相图 左图为x-z平面，右图为y-w平面Fig.1 Phase space structure，left plane refers x-z，right plane is y-w

图2　系统的Lyapunov指数Fig.2 Lyapunov exponents

图3　混沌系统电路原理图Fig.3 Chaotic circuit diagram

设计如图3所示的模拟电路，其中关于电压的一阶微分方程组为：

令x=U1，y=U2，z=U3，w=U4，对比式（2）和式（3），则得：

规定电容为10nF，反相器部分电阻为100kΩ.各电阻值参数值如下：

电路仿真结果如图4所示，其结果与数值模拟结果完全一致，从物理上说明了该系统的混沌特征.

3　混沌同步及其数值模拟

如果信号不能达到混沌同步，就无法完成信息的解密过程.混沌同步主要有同结构同步、异结构同步、投影同步等类型.同结构同步指的是两个混沌系统的结构与参数完全相同的同步方式，是目前最先研究的一种方式.其又可以分为驱动-响应式同步、耦合同步、自适应同步、脉冲同步、反馈同步、逆系统同步、相同步等.本文采用驱动-响应式同步完成系统的混沌同步.

图4　电路仿真图：左图x-z相位图，右图y-w相位图Fig.4 Circuit results，left plane refers x-z，right is y-w

设驱动系统的初始条件为（0.1，0.1，0.1，0.1），误差系统的初始条件为（5，0.1，0.1，0.1）.Matlab数值模拟误差随着时间的变化情况如图5和图6所示.图中误差随着时间很快变小趋近于0，说明系统很快达到混沌同步，可以实现图片的混沌加密传输.

图5　同步误差图Fig.5 Error variation over time

图6　同步误差图Fig.6 Error variation over time

4　图片加密传输

4.1混沌信号对像素点位运算加密

首先对图片中的每个像素点的RGB值进行位运算，就可以获得一个RGB值与原来图像完全不同的图片.混沌信号值为100，像素点RGB值为（15，12，16），用混沌信号值对RGB值位运算后为（107，104，116）.如此处理后图片的颜色显然和原来必然不同.在接受端采用同步系统对应的混沌信号对图片进行一次位运算，就可以还原RGB值.但是该加密方式的缺陷在于图片还原度问题.因为驱动系统和同步系统之间的误差是无法消除的，加密端和解密端用于位运算的混沌信号值是不完全一样的.而且混沌信号太微弱的话，位运算对图片的改变也很小，加密效果不佳.但扩大混沌信号值的倍数又会加大误差.而且，对于值大于255的情况还需要取余.基于上述方法的图片加密保密通信效果如图7所示.从图7中可以看出，图片的加密效果良好，但是解密图片误差很大，不能满足实际保密通信要求.

图7　混沌信号对像素点位运算加密效果图Fig.7 Results ofchaotic signal mixed with the pixel point operation

4.2图片数字化后与混沌信号同步传输

图片信息的关键是每个像素点的RGB值，把图片数字化为二进制数据序列，每八位代表一个像素点的RGB值.Matlab模拟时可以方便的把图片的二进制数据存放在一维数组里面.图片数字化完成后，采用混沌掩盖的方法，对存储数据每个元素加密.虽然数组中的值都是0和1的形式，但加密过程中，可以缩小成0和0.5.同步不理想时，也可以扩大到0和2.把图片的二进制信息混入到混信号中去.公共信道传输的是类似噪声的混沌信号，而不是图片信息.在解密端，由于混沌同步误差的影响，我们解密出来的信号并不是0和1的形式，如误差为0.2，那么解密结果可能是0.2和1.2，或者0.2，0.8等，可做如下需简单处理，选择中间值0.5，认为小于0.5的为0，大于0.5的1.这样只要误差小于0.5，那么图片信息还原度就非常高.数值模拟结果如图8所示

图8　图片数字化后与混沌信号同步传输Fig.8 Synchronous transmission of chaotic signal with digital image

该方法将图片加密后，从数据分析来说，已经不再是图片信息，而是混沌信号，但其中还有图片信息.如果我们将混沌数据按照图片信息处理，就会出现图片完全黑色的效果，是无法识别出原来的图像的，也就是说图片的加密效果好.图片解密后，失真小还原度很高，能够满足实际通讯要求.

5　结论

本文基于驱动响应式方法实现了一个四维混沌系统的混沌同步，数值模拟了两种图片保密通讯方案，实验结果表明图片数字化后与混沌信号同步传输比混沌信号对像素点位运算加密方法的效果更好，可应用于实际保密通讯.

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［7］王发强，刘崇新.一类多折叠环面多涡卷混沌吸引子的仿真研［J］.物理学报，2007，56（4）：1983-1988.

［8］王光义，郑艳，刘敬彪.一个超混沌Lorenz吸引子及其电路实现［J］.物理学报，2007，56（6）：3113-08.

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责任编辑：时 凌

A Four-dimensional Chaotic Circuit System with Its Implementation in Secure Communication

LONG Zhichao，MA Dazhu*
（School of Science，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000，China）

There is a positive Lyapunov exponent for a four-dimensional system，which indicates that the system is chaotic.The analogous circuit of this system is realized based on Multism software.The chaotic synchronization of the system is completed by the method of driving-response.The two kinds of schemes are presented.The numerical simulation shows that chaotic signal mixed with the pixel point operation is better than that of synchronous transmission with digital image.

Image encryption；chaotic circuit；chaos synchronization

0317+.2

A

1008-8423（2015）04-0365-04DOI：10.13501/j.cnki.42-1569/n.2015.12.002

2015-11-07.

国家自然科学基金项目（11263003）；湖北民族学院教研项目（2014JY030）.

龙志超（1989-），男，硕士生，主要从事混沌电路研究；*

马大柱（1983-），男，博士生，讲师，主要从事数值计算方法和非线性动力学研究.