如何区分互斥事件与相互独立事件

田麦

[摘 要]解决概率问题，需要明确所求事件是由哪些基本事件构成，这些基本事件有一个发生，还是同时发生，即事件是彼此互斥的还是相互独立的。

[关键词]互斥事件；相互独立事件

试验中事件的概率计算何时使用概率的加法公式，何时使用相互独立事件概率乘法公式，常是初学这部分知识的人难以把握的问题。引起麻烦的主要根源是无法确定事件的关系是互斥的还是相互独立。下面我们从四个方面来解决这个问题。

首先，判定两个事件之间的关系从定义入手，互斥事件发生在一次实验可能出现的不同结果中，这两个事件不可能同时发生：而相互独立事件发生在互不干涉的不同实验中，一个事件发生与否对另一个发生的概率不产生影响。

其次，从事件发生的结果入手判断事件间的关系。互斥事件若有一个发生，那么其它事件在实验中就不再发生了。而相互独立事件中一个事件在实验中发生，对其它事件是否发生不产生任何影响。

再次，从事件的来源入手，即从产生事件的试验入手。互斥事件发生在同一次试验中，两个互斥事件A和B不会同时发生，但它们的概率相互影响，总有相互独立事件发生于不同试验中，两个相互独立事件A和B是否发生不影响，产生事件的试验也相互独立互不影响，概率关系同样互不影响，总有

.最后，根据两个概率公式，分析适应的事件关系也可以判断事件间的关系，对于互斥事件有一个发生的概率加法公式，要求事件A、B之一发生，具有明确的排它性。对于相互独立事件的概率乘法公式，要求事件A、B同时发生，如果满足不了同时发生的条件，那这两个事件就肯定不是相互独立事件。

所以，是否能够分清事件A和B的关系至关重要，下面举例说明：

例1 甲，乙两人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.8，计算

（1）2人都击中目标的概率；＼

（2）其中恰有一人击中目标的概率。

（3）至少有1人击中目标的概率。

解： （1）把甲射擊一次的过程看作一次实验

记“甲射击1次，击中目标”为事件A

“乙射击1次，击中目标”为事件B

2人各射击一次，这两个试验相互不影响，

因此A，B为相互独立事件，2人都击中目标即

A、B同时发生。因此求解应利用相互独立事件公式

即甲，乙两人同时击中目标的概率为0.64

（2） “恰有一人击中”包括A击中而B没有击中（事件与是相互独立事件）和A没有击中而B击中（即事件与B是相互独立事件）事件是互斥事件。首先利用互斥事件概率乘法公式与，再利用互斥事件概率加法公式计算+

“其中恰有1人击中目标的概率”为

（3） “至少有一人击中目标的概率”包含的事件有、三种情况，它们之间是互斥的，不可能同时发生。

例2 有三种产品，合格率分别为0.9，0.85，0.85 ，各抽取一件进行检验：

求 （1）恰有一件不合格品的概率。

（2）至少有两件不合格品的概率。

分析：从抽取的结果看，每次在三类产品中各抽取一件，共三件，这三件产品合格与否互不影响，所以这三件产品之间相互独立，把结果看成时事件时为三个相互独立事件。当把抽出的三件产品看成是一次试验的结果时，不同质量的三件产品构成的事件为互斥事件。

解： 记“三种产品各抽取一件，抽取的是合格产品”的事件记为A，B，C

（1）“恰有一件不合格品”的事件有三种情况，其概率为

（2）“至少有两件不合格品的概率”用直接法求包含

总之，在利用两个公式计算事件概率时，确定出事件相互关系是正确利用公式的前提，能否在做题之前有一个明确的思路判断和清楚地思路认识，显得尤为重要。也特别希望我们大家在学习过程中，不断研究，不断探索。在学习中提高，在总结中进步。