双值合一

吕广玉

我们知道，绝对值|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离，|a-2|的几何意义是：数轴上表示a的点到2的距离，由此可以求绝对值方面的最小值问题，所以简称双值合一。

一、探究结论

探究1求|x+4|的最小值，显然，当x=-4时，最小值为0。将探究1中的一个点改为三个点变为：

探究2求|x+4|+|x+1|+|x-2|的最小值。

由絕对值的几何意义可知：该题本质就是在数轴上求一点x，使该点到-4、-1、2三数对应点的距离之和最小。如图：

由图形可知，-1的左边和-1的右边对应的点到-4、-1、2三数对应的点距离之和均大于2-（-4）=6，而-1对应点到-4、-1、2三数对应点距离之和均等于6。所以，|x+4|+|x+1|+|x-2|的最小值为6，此时，x=-1。

将探究3中的三个点改为五个点变为：探究3求|x+4|+|x+3|+|x+1|+|x-1|+|x-2|的最小值。

由绝对值的几何意义可知：该题本质就是在数轴上求一点x，使该点到-4、-3、-1、1、2五数对应点的距离之和最小。如图：

由图形可知，-1的左边和-1的右边对应的点到-4、-3、-1、1、2五数对应的点距离之和均大于2-（-4）{1-（-3）=10，而-1对应点到-4、-3、-1、1、2三数对应点距离之和均等于10。所以，|x+4|+|x+1|+|x-2|的最小值为10，此时，x=-1。

结论1：由探究1、探究2、探究3可知：在数轴上有奇数个间隔相等的点，在其上找一点x，使得这一点到这些点的距离和最小，这点就是这些点中间的那个点（这些点要由小到大排列），其最小值为最左边的点与最右边的点的距离、最左边的第二点与最右边的第二点的距离、……所有这些距离之和。将奇数个点改为偶数个点继续探究。

探究4求：|x+4|+|x-2|的最小值

由绝对值的几何意义可知：该题本质就是在数轴上求一点x，使该点到-4与2两数对应点的距离之和最小。如图：

显然，-4的左边，2的右边对应的点到-4与2对应的点距离之和均大于2-（-4）=6，而-4与2之间（包含一4和2）的任一数对应点到-4与2对应点距离之和均等于6。所以，|x+4|+|x-24|的最小值为6。此时，-4≤x≤2。将上题中的两个点改为四个点变为：

探究5求：|x+4|+|x+2|+|x-1|+|x-2|的最小值。

由绝对值的几何意义可知：该题本质就是在数轴上求一点x，使该点到-4、-2、1、2四数对应点的距离之和最小。如图

由图形可知，-2的左边，1的右边对应的点到-4、-2、1、2对应的点距离之和均大于2-（-4）+1-（-2）=9，而-2与1之间（包含-2和1）的任一数对应点到-4、-2、1、2对应点距离之和均等于9。所以，|x+4|+|x+2|+|x-1|+|x-2|的最小值为9，此时，-2≤x≤l.

结论2由探究3和探究4可知：在数轴上有偶数个间隔相等的点，在其上找一点x，使得这一点到这些点的距离和最小，这点在这些点的中间两个点之间（包含两个端点）（这些点要由小到大排列），其最小值为最左边的点与最右边的点的距离、最左边的第二点与最右边的第二点的距离、……所有这些距离之和。

二、实际应用

问题1在同一家公司上班的阿伟、阿明、阿红住在A、B、C三个小区，如图所示

A、B、C三点在同一条直线上，且AB=100m，BC=200m，为了响应国家节能减排的号召，他们打算合乘一辆车去上班，为使三个人步行到汽车的路程之和最小，请问汽车应停靠在这条直线上的何处？此时，三个人步行的最短路程是多少？

此问题转化为：在x轴上求一点P，使得P点到A、B、C三点的距离之和最小，显然，由结论1可知，汽车应停在点B处，三个人步行的最短路程是200+300=500（m）。

问题2如图所示：甲、乙、丙、丁四个小区在同一条直线上，为了响应国家全民

健身的号召，四个小区的老年人准备一起编排大型舞蹈，各小区参加编排的老年人分别是：甲区有600人，乙区有520人，丙区有500人，丁区有394人，为了方便老年人行走，使他们所走的总路程之和最小，请问他们的编排场所应设在这条直线的何处？

此问题不能简单地把甲、乙、丙、丁四个小区看作四个点，然后利用结论2把编排场所设在乙丙之间（含乙丙），这是因为每个小区人数不等，可这样去思考，甲区的600人相当于600个相等的数对应的点，同样，乙、丙、丁分别相当于520个、500个、394个相等的数对应的点，这样共有2014个点，此问题可转化为：在x轴上求一点P，使得P点到这2014个对应点的距离之和最小，由结论2可知编排场所应设在第1007和第1008之间（含这两个点），而第1007和第1008在乙小区，所以编排场所应设在乙小区。

后记：通过以上问题探讨，我们平时应善于总结规律，然后再利用这些规律去解决生活中的实际问题，即数学来源于生活又服务于生活，这样才能培养学生学习数学的兴趣，使他们觉得数学有用、可用、好用，这才是数学教学的根本所在。