一类三次多项式微分系统的相图

高静，刘娟

（1.广东白云学院基础教学部，广州 510450，2.广东财经大学数学与统计学院，广州 510320）

1 引言及主要结果

文献［1]中将系统

分为20类，其中一类为

其中b＞0，研究系统（1）的原点O(0,0)是中心还是焦点的判别，并给出了中心的条件；还研究了当原点O(0,0)是中心，b=1时，系统的相图.

主要结果为以下定理：

定理1系统（1）有奇点O(0,0)且有以下结论：

1）当α+bγ＞0时，O(0,0)为一阶不稳定细焦点；当α+bγ＜0时，O(0,0)为一阶稳定细焦点.

2）当α+bγ=0但(α,γ)≠(0,0)时，若γ＞0，则O(0,0)为二阶不稳定细焦点；若γ＜0时，O(0,0)为二阶稳定细焦点.

3）当且仅当α=γ=0时，O(0,0)为中心.

定理2当原点O(0,0)是中心时，若b=1，系统（1）变为

则系统（2）的相图有3种，如图1.

图1 系统（2）的相图

2 定理1的证明

经非退化线性变换：

系统（1）化为

由文献［2]中给出的公式，奇点O(0,0)的前2阶焦点量为：

所以可以得到以下几种情况：

3）若V3=0且V5=0，即α=γ=0.所以当且仅当α=γ=0时，O(0,0)为中心.

3 定理2的证明

为了计算系统（2）的有限奇点［3-4]，须求解方程组

所以易算出系统有奇点O(0,0)，A1(0,1)，A2(0,-1).

当β2≠1+9μ2且1+9μ2-β2＞0,β+3μ+1＜0,β-3μ+1＞0或1+9μ2-β2＜0,β+3μ+1＞0,β-3μ+1＜0时还有奇点

O(0,0)在任何情况下都是中心，后面的讨论中不再说明.

对于系统（2）有矩阵

所以奇点A1(0,1)，A2(0,-1)对应矩阵均为其对应的特征方程为λ2=2(1+β+3μ)，故当β+3μ＞-1时，奇点A1(0,1)，A2(0,-1)均为鞍点.

当β+3μ＜-1时，奇点A1(0,1)，A2(0,-1)一次近似为中心；当β+3μ=-1时，奇点A1(0,1)，A2(0,-1)为高阶奇点.

当β+3μ=-1时，奇点A1(0,1)，A2(0,-1)为高阶奇点，它们都属于相应的线性方程组的两个特征根都是零，但线性项系数不全为零.

对于奇点A1(0,1)，令x1=x，y1=y-1，将原点移至A1(0,1)，又注意到β=-3μ-1，并令2dt=dτ，则系统（2）化为

由y+P2(x,y)=0，解得隐函数

并有

同理可得，A2(0,-1)与A1(0,1)有相同的类型.

奇点A3,A6对应矩阵均为

若ak=-3μ＞0即μ＜0，则A1(0,1)为鞍点.

若ak=-3μ＜0即μ＞0；n=1，bn=-2(3μ+1)＜0.

奇点A4,A5对应矩阵均为

通过计算它们的行列式均小于零，容易判断出A3,A4,A5,A6都为鞍点.

为了研究系统（2）无穷远处奇点的性态，要作Poincaré变换.

系统（4）在u轴(z=0)上有两个无穷远奇点

因此得到如下结论：

作变换(u,z)→(z,u)，并除以4β3μ-β，上述系统化为

由z+Q2(u,z)=0，解得隐函数

并有

注意到4β3μ-β＜0，此时奇点的稳定性恰好与系统（3）中的结论相反.于是有：

i）当β+3μ+1＞0时是稳定结点.

iii）当β+3μ+1=0时，am=0，这种情况在后面的讨论并没有遇到，所以这里不在继续讨论.

同 理 可得：当β+3μ+1＞0 时是 不 稳 定 结 点 ；当β+3μ+1＜0 时 ，是鞍点；另外它的4条分界线分别沿方向和进入

系统（5）在v-z平面的原点不是无穷远奇点.

注意到Z=0是系统（5）的解，故赤道由奇点和轨线连成.又因所以在Poincare圆盘上，在与B对应的奇点的轨线走向一致，在与C对应的奇点C′,C″的轨线走向一致.又因为对系统（2）有

所以系统（2）关于x轴或y轴都对称，因而只要讨论第一象限的情况就可以了.

分两种情况讨论：

这时β=-1，μ=0，此时系统（2）变成

右端函数有公因子，故有无穷多个奇点在曲线y2-x2=1上，并且还有3个奇点O(0,0)，A1(0,1)，A2(0,-1).对于无穷远处，它在u轴上有两个无穷远点B(1,0)，C(-1,0).这时A1(0,1)，A2(0,-1)，B(1,0)，C(-1,0)都为高阶奇点.系统（2）有首次积分x2+y2=r2,r∈R.

根据以上分析，系统（2）的相图拓扑等价于图1（a）.

这时系统（2）有首次积分：

积分因子

由文献［5]知，系统（2）在平面上不存在极限环，焦点和结点，它有3个奇点：O(0,0)，A1(0,1)，A2(0,-1).

分两种情况：

1）当β+3μ＞-1时，奇点A1(0,1)，A2(0,-1)均为鞍点；

2）当β+3μ＜-1时，奇点A1(0,1)，A2(0,-1)一次近似为中心，所以奇点A1(0,1)，A2(0,-1)就是系统（2）的中心.

对于无穷远处，在u轴上有两个无穷远点

分两种情况：

B(为稳定结点为不稳定结点.

2）β=-9μ2+1.

当β+3μ＞-1时为稳定结点为不稳定结点.

当β+3μ＜-1时为鞍点，另外它的4条分界线分别沿方向和进入为鞍点，另外它的4条分界线分别沿方向和进入

综合以上分析，有两种情况：

1）当β+3μ＞-1且时，都有A1(0,1)，A2(0,-1)为鞍点为稳定结点，为不稳定结点.系统（2）的相图拓扑等价于图1（b）.

2）当β+3μ＜-1且时，这时所以这种情况是不成立的；

当β+3μ＜-1且时，这时A1(0,1)，A2(0,-1)为中心为鞍点.系统（2）的相图拓扑等价于图1（c）.

系统（2）的奇点还有第三种情况

但较复杂，本文中没有涉及，这是努力的方向.

［1]Yang Xinan ，Zhang Jianfeng.Algebraic classification of polynomial systems in the plane［J].Ann of Diff Eqs，1990，6（4）：463-480.

［2]刘一戎.一类平面三次系统的焦点量公式、中心条件与中心积分［J].科学通报，1986（2）：85-87.

［3]张芷芬，丁同仁，黄文灶，等.微分方程定性理论［M].北京：科学出版社，2003.

［4]张锦炎，冯贝叶.常微分方程几何理论与分支问题［M].北京：北京大学出版社，2002.

［5]叶彦谦.极限环论［M].上海：上海科技出版社，1984.