一种广义松弛正定反预处理求解非Hermitian鞍点问题

耿丽芳

摘要：以常规的Krylov子空间算法为基础，引入参数，结合PSS方法与松弛正定反Hennitian分裂方法，构建松弛PSS预处理因子（RPSS），并在此基础上引入参数，优化RPSS，形成广义松弛预处理因子（GRPSS），对离散化系统鞍点问题进行分析。仿真结果表明本方法具有较快的收敛速度，能够在一定程度上改善非Hennitian鞍点问题解析速度，为相关工程学科提供辅助性决策依据。

关键词：非Hermitian鞍点;广义松弛;预处理因子

中图分类号：0241.6文献标志码：A 文章编号：2095-5383（2019）03-0058-03

流体动力学、优化控制、电网结构分析以及地球数据反演等工程学科中均会出现鞍点问题。常规算法是通过有限差分、区域分解等将鞍点问题离散化后形成结构化线性系统方程，如式（1）所示。

通常式（1）满足非奇异性，但因为系数矩阵A的强不定性、对角元素的非占优性、涉及学科领域的复杂性、工程问题的高维数性等问题，使得式（1）的鞍点线性数值求解难度加大，无法获得适合于所有鞍点线性系统的求解方法。因此，根据不同学科、不同领域、不同问题、不同离散方式下的鞍点问题特殊性，需要开展有针对性的数值计算。

目前，针对鞍点系统的稀疏性与大规模性，常用的经典数值算法主要有Uzawa类迭代算法、HSS迭代算法、Krylov子空间算法。但是，Uzawa类迭代算法收敛速度缓慢，HSS迭代算法对鞍点问题的应用不够精准，而Krylov子空间算法虽适合于大型线性系统，可收敛速度较慢。

基于此，本文针对离散化偏微分系统的鞍点问题，以式（1）中的A为非Hermitian正定矩阵为研究情形，结合矩阵计算、数值理论、迭代算法等基础知识，构建新的迭代算法，分析收敛条件，以期对相关工程问题提供帮助性建议。

1离散系统鞍点问题

由表1、表2可知，随着a取值的逐渐增加以及β取值的逐渐减小，基于GRPSS方法的非Hermitian鞍点问题分析具有越来越快的收敛速度。

4小结

非Hermitian鞍点问题常规分析算法具有收敛精度较差、收敛速度较低的缺点。本文从Kyylov子空间算法入手，结合PSS方法与松弛正定反Hermitian分裂方法，構建基于给定参数a的松弛PSS处理因子。为了更好地贴近离散化数值方程的系数矩阵，引入新的松弛参数a与β，构建广义松弛预处理因子，并将其应用于Oseen方程分析。仿真结果表明本方案具有较快的收敛速度。未来进一步研究参数a与β的优化取值。