JB∞-环

孙晓青，田径，肖燕婷

（西安理工大学数学系，陕西西安710054）

JB∞-环

孙晓青，田径，肖燕婷

（西安理工大学数学系，陕西西安710054）

研究了JB∞-环，即满足R/J（R）是QB∞-环，得到了很多JB∞-环的判定条件：R是JB∞-环当且仅当对任意满足条件aR+bR=R的a，b∈R，存在y∈R使得当且仅当对任意满足条件aR+bR=dR的a，b，d∈R，存在使得a+by=du.另外还讨论了替换环是JB∞-环的充分必要条件，这些结论对QB∞-环提供了一些研究基础.

QB∞-环；JB∞-环；替换环

1　引言

1964年文献［1］中给出了具有稳定秩1的环的定义，如果对任意满足条件aR+bR=R的a，b∈R，存在y∈R使得a+by∈U（R），那么称环R具有稳定秩1.这类环对研究代数K-理论有重要的意义，许多学者从不同的角度研究了这类环（见文献［2-4］）.Ara在文献［5］中提出了一类具有稳定秩条件的无限环-QB-环.受QB-环的启发，文献［6］研究了QB∞-环.令

环R是局部环，指的是满足条件R/J（R）是除环.环R是半完备环，指的是满足条件R/J（R）是artinian环且幂等元提升模J（R）.环R是半正则环，指的是满足条件R/J（R）是正则环且幂等元提升模J（R）.环R是JB-环，指的是满足条件R/J（R）是QB-环.由此可见，环R和R/J（R）之间既有区别又有密切关系.

本文研究了JB∞-环，即满足R/J（R）是QB∞-环，得到了很多JB∞-环的判定条件，R是JB∞-环当且仅当对任意满足条件aR+bR=R的a，b∈R，存在y∈R使得当且仅当对任意满足条件aR+bR=dR的a，b，d∈R，存在y∈R，u∈R-1∞使得a+by=du，其中=｛u∈R|存在a，b∈R使得（1-ua）◦（1-bu）｝.另外也讨论了替换环是JB∞-环的充分必要条件.该文中环是含单位元的结合环，理想是双边理想，模是指右模.令U（R）是R的可逆元的集合，J（R）是R的Jacobson根.环R的元素a是正则元指的是：如果存在b∈R满足a=aba.

2　JB∞-环

如果存在m∈N使得（RxRyR）m⊆J（R），那么称x，y是J-伪正交的，记作x◦y.记=｛u∈R|存在a，b∈R使得（1-ua）◦（1-bu）｝.类似于文献［6］的引理2.1可知，当且仅当存在v∈R满足（1-uv）◦（1-vu）且u≡uvu，v≡vuv（mod J（R））.如果R/J（R）是QB∞-环，那么称R是JB∞-环.下面是JB∞-环的若干判定条件.

定理2.1设R是环.则下列条件等价：

（1）R是JB∞-环；

（2）对任意满足条件aR+bR=R的a，b∈R，存在y∈R使得

（3）对任意满足条件Ra+Rb=R的a，b∈R，存在z∈R使得

推论2.1设R是环.则下列条件等价：

（1）R是JB∞-环；

（2）对任意满足条件aR+bR=dR的a，b，d∈R，存在y∈R，使得a+by=du；

（3）对任意满足条件Ra+Rb=Rd的a，b，d∈R，存在z∈R ，使得a+zb=ud.

证明（1）⇒（2）设aR+bR=dR，则存在x，y，s，t∈R使得ax+by=d，a=ds，b=dt.因此dsx+dty=d.因为sx+ty+（1-sx-ty）=1，所以存在z∈R使得u：=s+tyz+（1-sx-ty）z∈由此du=ds+dtyz=a+byz.

（2）⇒（1）由定理1.1易见.

（1）⇔（3）类似于（1）⇔（2）的证明.

由推论2.1知，如果R是JB∞-环，那么aR=bR暗示着存在使得a=bu.

引理2.1设R是JB∞-环.若x=xyx，则存在使得x=xyu=uyx.

证明假设x=xyx，令z=yxy，则有x=xzx，z=zxz.因为xz+（1-xz）=1，由定理1.1知，存在t∈R使得v：=x+（1-xz）t∈从而z=zvz.

设u=（1-xz-vz）v（1-zx-zv），容易验证（1-xz-vz）2=1=（1-zx-zv）2，故有又因为

所以x=xzu=x（yxy）u=xyu且x=uzx=u（yxy）x=uyx.

文献［10］中指出环R的元素a，b，如果存在x，y∈R使得a=xby，b=yax，x=xyx，y=yxy，那么称a和b是伪相似的，记作

定理2.2设R是JB∞-环且a，b∈R.若则存在使得au=ub.

证明由已知存在x，y∈R使得a=xby，b=yax，x=xyx，y=yxy，根据引理2.1，存在使得x=xyu=uyx.易验证

因此

故au=xb=ub.

推论2.2设R是JB∞-环且e，f是R的幂等元.若则存在使得eu=uf.

证明由已知eR≌fR得存在a∈eRf，b∈fRe满足e=ab，f=ba.因此

3　替换环

环R为替换环当且仅当对任意a∈R，存在幂等元e∈aR使得1-e∈（1-a）R.本节研究替换环是JB∞-环的充分必要条件.

定理3.1设R是替换环.则下列条件等价：

（1）R是JB∞-环；

推论3.1设R是替换环.则下列条件等价：

（1）R是JB∞-环；

引理3.1设R是环.则下列条件等价：

定理3.2设R是替换环.则下列条件等价：

（1）R是JB∞-环；

推论3.2设R是替换环.则下列条件等价：

（1）R是JB∞-环；

综上，因环R和R/J（R）之间既有区别又有密切关系.本文研究的JB∞-环对QB∞-环的研究有重要意义.得到了JB∞-环的判定条件，以及替换环是JB∞-环的充分必要条件，这些结论对QB∞-环提供了一些研究基础.

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［11］Tuganbaev A.Rings Close to Regular［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，2002.

On JB∞-rings

Sun Xiaoqing，Tian Jing，Xiao Yanting
（School of Science，Xi′an University of Technology，Xi′an710054，China）

In this paper，we are intended to investigate JB∞-ring，which is provided that R/J（R）is a QB∞-ring.Various necessary and sufficient conditions，under which a ring is a JB∞-ring are established.R is JB∞-ring if and only if whenever aR+bR=R with a，b∈R，there exists a y∈R such that a+by∈if and only if whenever aR+bR=dR with a，b，d∈R，there exist y∈R ，such that a+by=du.Moreover，we characterize exchange JB∞-ring.These results enrich the research of QB∞-ring.

QB∞-ring，JB∞-ring，exchange ring

O153

E

1008-5513（2015）05-0449-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.002

2013-12-03.

国家自然科学基金（61402364）；陕西省自然科学基础研究计划（2015JM1039）；陕西省教育厅科学研究计划（2014JK1544）.

孙晓青（1984-），博士，讲师，研究方向：代数学.

2010 MSC:16E50