带周期位势平面薛定谔-泊松方程组的结点解

郭文艳，章国庆，刘三阳

（1.上海理工大学理学院，上海200093；2.西安电子科技大学数学和统计学院，陕西西安710071）

带周期位势平面薛定谔-泊松方程组的结点解

郭文艳1，章国庆1，刘三阳2

（1.上海理工大学理学院，上海200093；2.西安电子科技大学数学和统计学院，陕西西安710071）

利用临界点理论中的亏格定理和Nehari流形技巧，本文证明了在二维全空间上一类带周期位势的薛定谔-泊松方程组高能量解的存在性，且该解存在无穷多个结点区域.更进一步，得到了其基态解的存在性且是不变号的.

平面薛定谔-泊松方程组；周期位势；结点解

1　引言

本文考虑如下带周期位势的平面薛定谔-泊松方程组：

其中b＜0，2＜p＜4，函数a（x）满足条件：

（A）a：R2→（0，∞）为Z2周期连续函数，a（x）∈L∞（R2）且

因薛定谔-泊松方程组来源于量子力学和半导体理论，研究它的解的存在性是一个具有物理意义的问题.近年来，许多学者进行了广泛地讨论.对于在三维全空间上的薛定谔-泊松方程组，当b=0时，文献［1-2］证明了基态解的存在性、多重性以及对称性.当b＞0，2＜p＜6时，文献［3］得到了解的存在性.当b＜0时，此时薛定谔-泊松方程组描述了液晶中的Hartree模型，文献［4］讨论了，当时，存在无穷多个径向解.对于在二维全空间上的薛定谔-泊松方程组的研究，现有文献并不多见.文献［5］利用打靶法，证明了解的存在唯一性；特别是，2014年，文献［6］利用变分法得到了，当b＞0，p≥4时，问题（1）解的存在性与对称性.

本文讨论在b＜0，2＜p＜4时，问题（1）高能量解的存在性与变号性（即：其解存在无穷多个结点区域），并进一步证明了其基态解的存在性与不变号性.当b＜0时，此时在物理学上表示物质具有“正能量”，研究其解是一个有意义的课题.此外，因为函数a（x）为Z2周期函数，需要更精细的估计来得到其对应的能量泛函满足Cerami条件（紧性条件）；利用Nehari流形技巧时，因为b＜0，此时需要分析对应能量泛函的性态（如：单调性等）.另一方面，因为问题（1）的第二个方程的Green函数是变号的，这为利用变分法研究带来困难.

2　预备知识和主要结论

本文的主要工具是亏格定理和Nehari流形，下面给出本文所需要的一些预备知识和引理.

定义2.1［9］设D⊂Y是X的闭对称子集，定义Y相对于D的亏格γD（Y），如果存在k，使得Y能被闭对称子集U，V覆盖，且满足下列性质：

（1）D⊂U且存在奇连续映射χ：U→D使得χ（u）=u，u∈D；

（2）γ（V）≤k.

若不存在上述覆盖，则定义γD（Y）=∞.

引理2.2［9］设D，Y，Z是X的闭对称子集，且D⊂Y，则

（1）（次可加性）γD（Y∪Z）≤γD（Y）+γ（Z）；

（2）若D⊂Z，且存在奇连续映射φ：Y→Z使得φ（u）=u，u∈D，则γD（Y）≤γD（Z）.

定义2.3［10］称集合

为泛函I的Nehari流形.如果u≠0为泛函I（u）的临界点并且满足则称u为I的最小能量临界点（即：问题（1）的基态解）.

定理2.4假设b＜0，2＜p＜4，且a（x）满足条件（A），则问题（1）存在高能量解（u，Φ），且u有无穷多个结点区域，即，存在结点解序列｛±un｝∈X，使得I（un）→∞（n→∞）.

定理2.5假设b＜0，2＜p＜4，且a（x）满足条件（A），则问题（1）存在基态解，且基态解是不变号的.

3　Cerami条件

为了利用亏格定理和Nehari流形技巧，首先要证明Cerami条件（紧性条件）成立.因为函数a（x）满足条件（A），故泛函I在Z2变换下是不变的.对于函数u：R2→R，x∈R2，定义

定理3.1设｛un｝是X中的Cerami序列，即I（un）→d＞0，，则存在子列｛un｝，点列｛xn｝∈Z2，n∈N，使得在X中，有xn∗un→u（n→∞）.

引理3.2若｛tn｝是［0，∞）中的有界序列，则I（tnun）≤I（un）+o（1）（n→∞）.此外，若tn→0（n→∞），则

定理3.1的证明

4　主要定理的证明

断言1ck为泛函I的临界值.事实上，假设存在k，使得Kck=∅，则对每个ρ＞0，有Ac，ρ=∅.由文献［6］中，引理4.6知，存在ε＞0及奇连续映射η：Ick+ε→Ick-ε，使得η|D=id|D.这与ck定义矛盾.

断言2当k→∞时，有ck→∞.事实上，假设当k→∞时，有ck→c＜∞.则由形变引理及（7）知，存在ρ，ε＞0，使得γ（Ac，ρ）＜∞，Ac，ρ∩D=∅，并存在奇连续映射φ：Ic+εAc，ρ→Ic-ε满足φ|D=id|D.因此，由c的定义知γD（Ic+εAc，ρ）≤γD（Ic-ε）＜∞.此外，由引理2.2知，γD（Ic+ε）≤γD（Ic+εAc，ρ）+γ（Ac，ρ）＜∞.这与对所有的k∈N，有c+ε＞ck矛盾.

综合断言1和断言2可得，存在结点解序列｛±uk｝∈X，k∈N，使得

引理4.1存在α＞0，使得

则对充分小的α＞0，有inf｛I′（u）u：u∈X：‖u‖=β｝＞0.

引理4.2设u∈X｛0｝，则函数φu：R→R，φu（t）=I（tu）为偶函数，且满足下列性质

定理2.5的证明断言

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Nodal solutions for a class of planar Schrödinger-Poisson systems with periodic potential

Guo Wenyan1，Zhang Guoqing1，Liu Sanyang2
（1.College of Sciences，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai200093，China；2.College of Mathematics and Statistics，Xidian University，Xi′an710071，China）

In this paper，using genus theorem and Nehari manifold techniques in critical points theory，we prove the existence of high energy solutions for a class of Schrödinger-Poisson systems with periodic potential in dimension two，and obtain that the solution has infinitely nodal domains.Furthermore，the existence of ground state solution is proved which does not change sign.

Planar Schrödinger-Poisson systems，periodic potential，nodal solutions

O175.25

A

1008-5513（2015）05-0542-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.016

2015-04-07.

上海市自然科学基金（15ZR1429500）；沪江基金（B14005）；上海理工大学培育基金（15HJPYMS03）.

郭文艳（1991-），硕士生，研究方向：非线性泛函分析.

2010 MSC:35J60，35J65