借助函数形态作图之浅见

张美花

摘 要：作图在数学中尤为重要，函数的图象和性质关系密切。借助图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观的启示，可让理论性强的文章图文并茂，有助于理解定义，说明定理和解释公式等。主要讲述如何利用函数的形态作出较为复杂的函数图象。

关键词：函数形态；作图；方法步骤

一、函数现代概念

若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）。元素x称为自变量，元素y称为因变量。

二、函数的形态

1.单调性

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

2.奇偶性

设f（x）为一个实变量实值函数，若下列的方程对所有实数x都成立：f（x）=-f（-x）则f（x）为奇函数。几何上，一个奇函数关于原点对称。

设f（x）为一实变量实值函数，则f（x）为偶函数，若下列的方程对所有实数x都成立：f（x）=f（-x）。几何上，一个偶函数关于y轴对称。

3.周期性

设函数f（x）的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任意x∈D有（x±T）∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，則称f（x）为周期函数，T称为f（x）的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域D为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。

4.有界性

设I为函数f（x）的定义域内的某一区间，若存在正数M，使得对一切x∈I，都有f（x）≤M，则称f（x）为区间I上有界，否则称f（x）为区间I上无界。

5.连续性

在数学中，连续是函数的一种属性。直观图象上说，连续的函数是连绵不断的一条线，也就是一笔可以画完无需间断的曲线。

不用极限的概念，也可以这样表达：对任意给定的ε>0，总存在δ>0，当x-x0<δ时有f（x）-f（x0）<ε

6.凹凸性

三、函数的基本作图方法

讨论了函数的各种形态，综合讨论就可以做出函数图象的一般步骤如下：

（1）确定函数的定义域，找出间断点。

（2）求出曲线和坐标轴的交点。

（3）确定曲线关于坐标轴的对称性。

（4）令一阶导数等于0，求出函数的驻点，并算出各驻点的函数值。判断函数的单调区间并求出极值。

（5）确定函数的凹向区间和拐点。

（6）求出曲线的渐近线。

（8）根据关系图和函数的相关性质，描绘函数大致图象。

四、实例解析

解：（1）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）。

（2）函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性。

（4）令y′=0得x=-2

y″（-2）>0所以x=-2为极小值点，f（-2）=3为极小值。

（5）令y″=0，得x=-3，在x=-3的左侧有y″<0，在x=-3的右侧有y″>0，而f（-3）=-2，所以，（-3，-2）是拐点。

（6）渐近线x=0。

（7）将上面的结果列表如下：

（8）描绘图象如下：

根据作图的步骤可以作出函数的大致图象，如果已知函数的图象，不但可以从函数得到精确的性质，也可以从函数的图象得出函数的大致性质。

例2：已知函数y=3x2-x3的图象如下，描述该函数性态。

解：（1）定义域为（-∞，+∞）。

（2）函数不具有奇偶性，曲线无对称性。

（3）f（x）=0曲线与x轴有两个交点，一个是x=0，一个是x=3。

（4）函数有两个驻点x=0，x=2

x=0为极小值点，f（0）=0为极小值。

x=3为极大值点，f（2）=4为极大值。

（5）（1，2）是拐点。

（6）无渐近线。

五、总结

函数的形态对作图起到很大的指导作用，而函数的图形也能一目了然地反映该函数的各种形态。学好函数的相关知识，灵活解题，方法至关重要，准确画出函数的图形可以使我们进一步提高解题兴趣，激活思维，开拓思路，提高综合运用多种方法解题的能力，从而提高分析、判断、猜想、推理、决策的能力，真正提高数学素质、创新精神和创新能力。平时应注重培养这种思想意识，争取见数想形，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合。

参考文献：

[1]邱曙熙.高等数学基础篇.厦门大学出版社，2008-07.

[2]潘凯.高等数学.中国科技大学，2004（09）.

编辑 李建军