一类具有饱和发生率和治疗的SEIR模型

刘国永, 李桂花



一类具有饱和发生率和治疗的SEIR模型

刘国永, 李桂花

(中北大学数学系, 山西太原, 030051)

利用定义法给出SEIR模型的基本再生数, 得到了各类平衡点存在的条件。利用Routh-Hurwitz判据证明了地方病平衡点是局部渐近稳定的; 利用第二加性复合矩阵证明了地方病平衡点全局稳定性的充分条件。

饱和发生率; 治疗; 基本再生数; 稳定性

近20年来, 对于传染病的研究已有很多成果, 利用动力学方法分析传染病流行规律建立控制策略的数学模型是方法之一。建立模型时, 一般假定疾病的治疗比率是固定的常数, 但根据实际情况, 治疗率不仅跟病人数量且与医院资源都有关系, 如果患病人数超过医院的最大容纳量, 治疗将受到一定的限制, 患病人数低于医院的最大容纳量, 病人的治疗率将会大大提高。考虑治疗函数的传染病模型[1-5], 系统通常会发生后向分支[1-8]。对系统性态分析过程中, 疾病的发生率也是影响模型性态的一个重要因素, 种群数量大小不同采用的传染率函数也会不同。

关于治疗函数的研究, Wang和Ruan[1]提出在医疗资源有限时采用常数治疗率(将社区的治疗容量看作常数), 当患病者的数量很大时, 这种治疗函数是比较合理的。Wang等[2]考虑了更符合实际治疗的治疗函数。Zhang等[3]研究了具有饱和发生率及治疗函数如(1)式的SIR模型的动力学性态, 系统发生后向分支; Li等[4]考虑了具有非线性发生率及治疗函数的动力学性态, 系统同样存在后向分支。本文将考虑具有饱和发生率和治疗的SEIR模型, 假设潜伏期的患者不具有传染性, 患病者一旦恢复将终身免疫。

1 模型

2 平衡点的存在性

(4)

。 (6)

。 (9)

综上可得定理2, 3。

3 平衡点的局部稳定性

4 平衡点的全局稳定性

5 结论

本文研究了一类具有饱和发生率和治疗的SEIR模型的动力学性态。采用定义法给出模型的基本再生数, 得到各类平衡点存在的条件。利用Routh-Hurwitz判据证明了地方病平衡点是局部渐近稳定的; 当时, 模型存在唯一的地方病平衡点, 并且利用第二加性复合矩阵证明了地方病平衡点是全局稳定性的。

参考文献：

[1] Wang W, Ruan S. Bifurcations in an epidemic model with constant removal rate of the infectives [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2004, 291(2): 775-793.

[2] Wang W. Backward bifurcation of an epidemic model with treatment [J]. Mathematical biosciences, 2006, 201(1): 58-71.

[3] Zhang X, Liu X. Backward bifurcation of an epidemic model with saturated treatment function [J]. Journal of mathematical analysis and applications, 2008, 348(1): 433-443.

[4] Li X Z, Li W S, Ghosh M. Stability and bifurcation of an SIR epidemic model with nonlinear incidence and treatment [J]. Applied Mathematics and Computation, 2009, 210(1): 141-150.

[5] Hu Z, Liu S, Wang H. Backward bifurcation of an epidemic model with standard incidence rate and treatment rate [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2008, 9(5): 2 302-2 312.

[6] Hadeler K P, Van den Driessche P. Backward bifurcation in epidemic control [J]. Mathematical Biosciences, 1997, 146(1): 15-35.

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[9] 马知恩, 周义仓, 王稳地, 等. 传染病动力学的数学建模与研究[M]. 北京: 科学出版社, 2004.

(责任编校:刘晓霞)

Analysis of an SEIR epidemic model with saturated rate and treatment

Liu Guoyong, Li Guihua

(Department of Mathematics, North University of China, Taiyuan 030051, China)

The basic reproduction number of the model is given by using the definition, and the existing threshold conditions of all kinds of the equilibrium points are obtained. Locally asymptotic stability of the endemic equilibriumis proven by using the Routh-Hurwitz criterion, and the sufficient conditions of global asymptotic stability of the endemic equilibriumis also obtained by using the second additive compound matrix.

saturated rate; treatment; basic reproduction number; stability

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.006

O 175.1

1672–6146(2015)02–0014–05

刘国永, 1318790887@qq.com.

2015-01-16

国家自然科学基金(11201434)。