利用外逆求解抽象的半光滑算子方程的牛顿法

刘会成，刘晶



利用外逆求解抽象的半光滑算子方程的牛顿法

刘会成，刘晶

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

利用外逆研究了求解Banach空间中非光滑算子方程的半光滑牛顿法和非精确牛顿法，并证明其在一定假设条件下的线性收敛性和超收敛性. 与以前的方法相比，本文方法能更容易地解决一些应用实例，可以被视为求解非光滑算子方程现有方法的扩展.

非光滑算子方程；半光滑牛顿法；非精确牛顿法；线性收敛；超线性收敛；有界外逆

近年来，建立有效的数值方法求解无限维非光滑算子方程逐渐成为学者热衷的研究方向，其中有相当一部分学者探索了各种求解无限维非光滑算子方程的牛顿法，并对算法进行了收敛性分析. 对于光滑算子方程，由于算子的导数是存在的，经典的牛顿法即可求解. 而对于非光滑算子方程，算子的导数是不存在的，因此研究这方面的学者们着力于改变不同条件，然后给出对应假设条件下的求解非光滑算子方程的算法. 1994年，假设在类Yamamoto条件下，Argyros[1]研究了Banach空间中非光滑算子方程的非精确牛顿法，并证明了这种非精确牛顿法是满足局部收敛和二次收敛的，继而Argyros[2]又给出了这种算法迭代序列收敛到解点的充分条件. 1999年，Argyros等[3]阐述了如何选择控制序列使得牛顿法能快速收敛. 刘晶等研究了Banach空间中非光滑算子方程的非精确牛顿法[4]、光滑化牛顿法[5]和光滑化拟牛顿法[6]，并证明了这3种牛顿法的局部超线性收敛性质. 2001年，韩丹夫[7]将Banach空间中的非光滑算子分离成光滑和Lipschitz连续的两部分，给出了这种假设条件下的非光滑算子方程的牛顿法并证明了其收敛性. 韩丹夫的非光滑牛顿法虽有一定的可行性，但不符合很复杂且迭代过程又未必都可计算的实际情况. 2003年，蒋冬冬等[8]优化了韩丹夫的研究，提出用修正的非光滑牛顿法来求解无限维非光滑算子方程.

2001年，Ulbrich[9]首次给出了求解非光滑算子方程

假设算子半光滑时，Ulbrich提出了求解非光滑算子方程（1）的半光滑牛顿法，并且发现这种算法是满足局部超线性收敛的，继而探索将半光滑牛顿法应用于无限维非线性互补问题、受约束的纳维-斯托克斯水流系统等[10-12]. 但是精确求解非光滑算子方程（1）往往费时费力，尤其对于大型系统更是如此. 在实际应用中，如何求解是一个需要解决的问题.

广义逆理论在系统最优化、系统数值分析、最优控制等领域具有引人注目的应用. 当一个算子不是双射时，其逆算子不存在，此时需要讨论其广义逆. Banach空间中有界线性算子存在各种类型的广义逆，如有界内逆、有界外逆、Drazin广义逆等. 在这些广义逆中，有界外逆具有很好的稳定性. 因而，本文将在半光滑的条件下，利用Banach空间中有界线性算子中稳定性相对较好的有界外逆，研究出求解非光滑算子方程（1）的非精确牛顿法和半光滑牛顿法，给出这两种牛顿法的相关收敛性质与理论.

1 预备知识

定义1[9]34设算子，为Banach空间的开子集，为Banach空间，令，

，当在中.

文献[9]中Ulbrich在无限维空间中定义了半光滑概念，这一概念的提出对发展无限维非光滑算子理论起着决定性的作用.

定义2[12]42设，算子满足，则称为的有界外逆.

引理1[12]44设，为的有界外逆，设满足，则为的有界外逆且，进而，且.

引理2[12]43设，如果算子为的有界外逆，则有下述的直和分解：

假设2[9]38假设Banach空间稠定且连续嵌入到Banach空间中且有：

2 牛顿法

2.1 半光滑牛顿法

算法1 求解非光滑算子方程（1）的半光滑牛顿法为：

2.2 非精确牛顿法

算法2 求解非光滑算子方程（1）的非精确牛顿法为：

证明 由于假设1和假设3知算法2是有定义的，且由假设2的ii）知，存在常数．假设对任意的，，由于且，则有

由算法2和式（5）有

从而由式（3）、（6）、（7）和（8）可以得到

式（13）成立，当且仅当

由式（6）、（13）、（14）和（15）得到

[1] ARGYROS I K. A convergence theorem for Newton-like methods under generalized Chen-Yamamoto type assumptions [J]. Applied Mathematics and Computation, 1994, 61(1): 25-37.

[2] ARGYROS I K. A unified approach for contracting fast two-step Newton-like methods [J]. Monatshefte fur Mathematik, 1995, 119(1-2): 1-22.

[3] ARGYROS I K, LAWTON O K. Relations between forcing sequences and inexact Newton iterates in Banach space [J]. Computing, 1999, 63(2): 131-144.

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[6] 孙立兵，刘晶，宋文. Banach空间中非光滑算子方程的光滑化拟牛顿法[J]. 数学的实践与认识，2008, 38(13): 192-199.

[7] HAN Danfu. The majorant method and convergence for solving nondifferentiable equations in Banach space[J]. Applied Mathematics and Computation, 2001, 118(1): 73-82.

[8] 蒋冬冬，沈硕，倪伟才. 求解不可导方程的修正Newton迭代及其在Banach空间中的收敛性[J]. 浙江大学学报（理学版），2003, 30: 256-259.

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[12] 王玉文. 巴拿赫空间中算子广义逆理论及其应用[M]. 北京：科学出版社，2005.

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[14] QI Liqun. Convergence analysis of some algorithm for solving nonsmooth equations [J]. Mathematics of Operations Research, 1993, 18(1): 227-244.

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[责任编辑：熊玉涛]

Newton Methods for Solving Nonsmooth Operator Equations via an Outer Inverse in Banach Space

LIUHui-cheng, LIUJing

(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

In order to solve nonsmooth operator equations and consider the application in Banach space, a semismooth Newton method and inexact-Newton method are developed via a generalized inverse. The linear convergence and superlinear convergence of a semismooth Newton method and inexact-Newton method under some conditions are shown. Our methods could be viewed as the extensions of existing methods for solving nonsmooth operator equations and can be considered as an extension of the existing methods for solving nonsmooth operator equations.

nonsmooth operator equations; the semismooth Newton method; the non-exact Newton method; linear convergence; superlinear convergence; bounded outer inverse

1006-7302（2015）04-0016-06

O24

A

2015-01-21

刘会成（1987—），男，湖北黄石人，在读硕士生，研究方向为运筹学与控制论；刘晶，副教授，博士，硕士生导师，通信作者，研究方向为运筹学与控制论.