强磁性矿粒在磁选过程中的受力分析及动力学模拟

库建刚，陈辉煌，何逵，晏全香



强磁性矿粒在磁选过程中的受力分析及动力学模拟

库建刚1，陈辉煌2，何逵1，晏全香1

(1. 福州大学紫金矿业学院，福建福州，350116；2. 中南大学化学化工学院，湖南长沙，410083)

基于磁偶极子磁场分布理论计算强磁性矿粒在磁场中所受到的力，并采用Verlet速度算法对2个磁性矿粒相互作用和9个磁性矿粒相互作用的二维动态过程进行模拟。研究结果表明：磁偶极子力和黏性阻力是影响磁性矿粒团聚的主要因素，磁偶极子力是强磁性矿粒在磁选过程中受到的最主要的力；2个磁性矿粒相互作用的动态过程由外磁场的大小和方向决定，矿粒从初始位置到接触所用时间小于8.3 ms；9个矿粒相互作用的动态过程与初始位置(随机性)有关，矿粒从初始位置到结成磁链所用时间小于30 ms，磁性矿粒最终沿外磁场方向团聚成链状结构。

磁偶极子；磁性矿粒；磁选；动力学模拟

磁团聚是指磁性矿粒受到磁场磁化作用或磁性矿粒本身具有剩磁而相互吸引并产生团聚的现象，它对磨矿、分级、选别、浓缩及过滤作业均有很大影响[1]。目前，传统磁选设备的改进和新型磁选设备的研制都针对磁团聚采取了相应的措施，即利用或破坏磁团聚以达到提高分选指标的目的。例如：筒式磁选机采用磁块N-S极交替排列[2]、增加冲洗水[3]或超声波[4]等措施破坏磁团聚；磁团聚重力选矿机利用上升水流对磁团聚的分散使磁性矿物得以多次富集[5]；磁选柱采用脉动磁场控制磁团聚的形成以达到磁性矿物多次分选的目的[6]；磁场筛选机采用弱磁场使强磁性矿粒形成磁团聚，在筛网作用下实现磁团聚与单颗粒脉石的分离[7]。但这些磁选设备的改进和研制往往停留在经验层面，缺少坚实的理论指导，针对磁团聚的研究也仅停留在形式化描述上，对磁团聚的形成速度、磁团聚的结构及磁团聚分散技术等有关机理的研究相对薄弱，尚没有形成统一的理论体系。国内外学者对磁团聚形成机理进行了相关研究。Senkawa等[8−12]对2个磁性颗粒间的磁相互作用进行了研究，得出了2个颗粒间磁作用的不同表达式；库建刚等[13]计算了水溶液中两磁性矿粒接触所用的时间；谢强[14]计算了强磁性矿粒形成的磁链强度。但以上研究均未涉及磁团聚的动态形成过程及磁链的结构。本文作者以磁偶极子模型为基础，分析了强磁性矿粒在矿浆中受到的各种作用力，得出了磁偶极子力和流体阻力是影响磁链形成的主要因素的结论，并采用迭代过程Verlet速度算法，建立了强磁性矿粒的动力学模型，模拟了在磁场作用下磁性矿粒从单颗粒到链状结构的形成过程，为磁选设备的改进和研制提供了理论依据。

1 动力学模型

1.1 强磁性矿粒在磁选过程中受到的力

磁性矿粒在磁选机分选空间中不仅受到重力、磁力和流体黏性阻力的作用，同时也受到其他磁性矿粒的磁偶极子力以及矿粒间的碰撞作用[15]。因其粒径为数十微米至毫米量级，在外加磁场作用下，分子热运动对矿粒的影响非常微弱，可以忽略不计[16]。

磁性矿粒在水中受到的重力为

式中：为矿粒直径，m；k和w分别为矿粒和水的密度，kg/m3；为重力加速度，m/s2。

矿粒在分选空间中的运动处于紊流区间，相对于介质的运动速度变化很大，雷诺数的变化范围很广，因此，可采Abraham[17]提出的球体阻力公式：

式中：为介质的密度，kg/m3；为矿粒相对介质的速度，m/s。

Coneha和Almendra[18]对式(2)进行了修正，取ψ=0.11，=4.53。式(2)可作为＜5 000的通用阻力公式，与李莱曲线吻合较好[19]。

磁性矿粒在磁分离空间中受到的磁力为：

式中：0为介质的磁导率，水的磁导率约为4π×10−7H/m；为磁性矿粒的磁化率，m3/kg；为磁性矿粒所处位置的磁场强度，A/m；grad为磁性矿粒所处位置的磁场梯度，A/m2。

湿式筒式弱磁选机的磁场强度为：

式中：为距磁选机磁鼓表面的距离，m。由式(3)和(4)可得，磁性矿粒在磁选机磁场中受到的磁力m为：

式中：为磁场的非均匀系数，=17.312。

磁性矿粒在磁选机分选空间中运动，在初始阶段，矿粒间的距离相对较远，因此，可以使用传统的磁偶极子模型来计算矿粒间的相互磁作用力[20]。在磁场中，磁偶极矩分别为1和2的2个磁偶极子间的相互作用能[21]可表示为

式中：0为真空磁导率；为介质的相对磁导率；r为2个磁偶极子中心连线的单位矢量；为2个磁偶极子中心的距离。

当2个磁偶极子的极矩(大小和方向)相同时，式(6)可以简化为

然后求F和F的合力，即为两磁性矿粒间的磁作用力：

设一个强磁性矿粒的磁偶极矩为，磁性矿粒被磁化后会影响其他磁性矿粒的磁化，导致单个磁性矿粒的实际磁矩发生改变[22]。因此，磁性矿粒在磁场中的实际磁矩[23]取矿粒被充分磁化后的值：

1.2 磁偶极子力与其他力的比较

以攀枝花密地选厂湿式筒式弱磁选机和钛磁铁精矿为参考，假定矿浆浓度为20%，矿粒间的实际距离约为矿粒的直径。根据式(1)，(2)，(8)，(9)及(10)，计算粒度相同的2个磁性矿粒间的磁偶极子力，将磁偶极子力与矿粒所受重力、水阻力和磁力进行比较，结果见图1。

图1 磁偶极子力与其他力的比值与矿粒粒度的关系

由图1可以看出：随着矿粒粒度的增加，mm/D呈先快速上升后趋于平缓的变化趋势，而mm/和mm/m均呈先快速下降后趋于平缓的变化趋势。当矿粒粒度大于0.01 mm时，磁偶极子力大于矿粒受到的重力、磁力和水阻力；当粒度为0.045 mm时，磁偶极子力分别是重力的39.1倍、磁力的15.0倍、水阻力的4.4倍；当矿粒粒度为0.20 mm时，磁偶极子力分别是重力的3.3倍、磁力的8.7倍、水阻力的16.0倍。因此，在矿粒粒度为0.01~0.30 mm的范围内，磁偶极子力是磁性矿粒在磁选过程中受到的最主要的力。

1.3 动力学方程

由牛顿第二定律可得矿粒的动力学方程：

式中：为矿粒质量。

2 矿粒运动模型的算法

播种期的小麦病害主要以条锈病、白粉病、雪霉叶枯病和黄矮病为主，同时要防治地下害虫。该时期的小麦刚萌发，物理防治会对苗有一定的损伤，一般以化学防治为主。在前期拌种时，可采用药剂拌种控制苗期地下害虫和蚜虫危害，预防小麦黄矮病的发生。

矿粒运动时其位置、速度、加速度具有同步性，在数值模拟过程中，采用固定步长、先计算加速度再计算末速和位移的方法。计算采用迭代过程Verlet速度算法。矿粒的初始位置由随机函数产生，初始速度为0 m/s，时刻矿粒的加速度为

设模拟时间步长为Δ，则+Δ时刻的速度为

+Δ时刻的位移为

计算机模拟时，式(13)和式(14)反复迭代。

本实验分别对两矿粒模型和九矿粒模型进行模拟。两矿粒模型采用固定初始位置的方式进行，九矿粒模型较为复杂，如果计算所有矿粒间的磁偶极子力，计算过程将耗费大量的时间，由式(9)和式(10)可知，随着矿粒间距的增大磁偶极子力迅速减小，因此，可采用等间距格子法，在计算单个矿粒受力时只考虑相邻网格内的矿粒，可提高计算效率。具体方法为：设正方形区域的边长为0.6 mm，整个模拟区域以=0.2 mm为大小划分网格，每个矿粒的初始位置在每个格子的中心坐标(0，0)附近(0±50 μm，0±50 μm)具有随机性，这样不仅避免了矿粒的相互重叠，而且保持了矿粒间的平均距离，使矿浆浓度得以体现；矿粒间的碰撞采用完全非弹性碰撞，碰撞后作为整体继续运动；设边界无穷大，因此，可不考虑边界碰撞。

3 模拟结果及分析

3.1 两矿粒运动模拟

两矿粒运动模拟采用设定初始位置和矿粒间距的方法，矿粒直径取100 µm，两矿粒中心距离为200 µm，两矿粒中心连线与磁场方向的夹角分别取0°，15°，30°和45°，其他数据见表1。模拟了不同初始位置的两矿粒在二维坐标中的位置随时间的变化情况，见图2。

表1 模拟参数

(a) 初始位置时两球中心连线与磁场方向夹角为0°；(b) 初始位置时两球中心连线与磁场方向夹角为15°；(c) 初始位置时两球中心连线与磁场方向夹角为30°；(d) 初始位置时两球中心连线与磁场方向夹角为45°；

从图2可以看出：随着两矿粒中心连线与磁场方向夹角的增加，两矿粒从初始位置到接触所用时间变长，当夹角为0°时，两矿粒从初始位置到接触所用时间仅为5.5 ms；当夹角为30°时，所用时间仅为6.5 ms；当夹角为45°时，所用时间大于8 ms。两矿粒中心连线与磁场方向夹角越大，矿粒在垂直磁场方向上的运动距离越大，而在磁场方向上运动距离越小，从0 ms到3.5 ms及从0 ms到5.5 ms两矿粒主要做垂直磁场方向上的运动。两矿粒运动模型的最终状态较为相似，其中心连线与磁场方向平行或与磁场方向有一很小的夹角。

3.2 九矿粒运动模拟

九矿粒运动模拟的初始位置由计算机随机产生，本次实验采用两组随机初始数值(见表1)，模拟了九矿粒在二维坐标中的位置随时间的变化情况，见图3。

(a) 第1次模拟结果；(b) 第2次模拟结果

从图3可以看出：2次模拟中首先出现的均是两矿粒的接触，所用时间小于5 ms，随着时间的延长，磁链逐渐变长；间距相对较小的磁性矿粒接触所用时间相对较短；当矿粒间距比较均匀时，磁链的形成过程相对较慢，与第1次模拟时相比，第2次模拟时磁链形成速度较慢；磁性矿粒最终沿外磁场方向呈链状结构排列。模拟中也有一些特殊的情况出现，如单个矿粒与磁链出现加塞，如图3(a)所示；因受到的合力接近0 N，也会出现单个矿粒绝对位置变化不大的情况。

4 结论

1) 当矿粒直径为0.01~0.30 mm时，矿浆中两强磁性矿粒间的磁偶极子力大于矿粒受到的重力、磁力和水阻力，且随着矿粒直径的增大，磁偶极子力与重力、磁力的比值呈先快速下降后缓慢下降的变化趋势，磁偶极子力与水阻力的比值则呈先迅速上升后缓慢上升的变化趋势。

2) 随着两矿粒中心连线与磁场方向夹角的增大，两矿粒从初始位置到接触所用时间变长，两矿粒在垂直磁场方向上的运动距离变大，而在磁场方向上的运动距离变小。

3) 模拟中首先出现的是两矿粒的接触，所用时间小于5 ms，随着时间的延长，磁链会逐渐变长，矿粒最终沿外磁场方向呈链状结构排列。

4) 九矿粒模拟过程中间距相对较小的磁性矿粒先接触，当矿粒间距比较均匀时，各个矿粒受力较为平衡，接触所用时间相对较长。

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Force analysis and dynamic simulation of ferromagnetic mineral particles in magnetic separation process

KU Jiangang1, CHEN Huihuang2, HE Kui1, YAN Quanxiang1

(1. College of Zijin Mining, Fuzhou University, Fuzhou 350116, China;2. School of Chemistry and Chemical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Based on magnetic dipole magnetic field distributing theory, forces acting on ferromagnetic mineral particles in magnetic field were calculated. The Velocity Verlet algorithm was adopted to simulate the two-dimensional dynamic interaction of two magnetic particles and nine magnetic particles respectively. The results show that the magnetic interaction force and viscous drag are the primary factors affecting the agglomeration of magnetic particles and the magnetic dipole force is the main force acting on ferromagnetic mineral particles in magnetic separation process. Furthermore, the dynamic processof the interaction between two magnetic particles is determined by the strength and direction of the external magnetic field. The time it takes for the two magnetic mineral particles to meet each other from the initial position is less than 8.3 ms. Additionally, the dynamic processof the interaction of nine magnetic particles is affected by the initial position (randomly assigned) and the time for the nine particles to form magnetic chains from the initial position is less than 30 ms. Magnetic mineral particles eventually agglomerate into chain aggregate structure along the direction of external magnetic field.

magnetic dipole; magnetic mineral particle; magnetic separation; dynamic simulation

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.05.001

TD924

A

1672−7207(2015)05−1577−06

2014−04−01；

2014−06−16

国家自然科学基金资助项目(51104048)；福州大学科技发展基金资助项目(600360)；福州大学科研启动基金资助项目(022387) (Project(51104048) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(600360) supported by the Science and Technology Development Foundation of Fuzhou University; Project(022387) supported by the Scientific Research Foundation of Fuzhou University)

库建刚，博士，副教授，从事磁性矿物分离和复杂矿综合利用研究；E-mail: kkcc22@163.com

(编辑 赵俊)