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无限个大于零小于1的数的乘积等于零吗

2015-10-08田亚丽

中学数学杂志(高中版) 2015年5期
关键词:乘积渭南根源

无限个大于零小于1的数的乘积等于零吗?关于这个问题,我与很多同行老师进行了探讨,归纳为两种观点.一种观点是:“无限个大于零小于1的数的乘积一定不等于零,原因很简单,因为如果积等于零,则至少有一个因数等于零.”另一种观点是:“无限个大于零小于1的数的乘积一定等于零,原因也很简单,因为一个数乘一个大于零小于1的数的积会变小,因此无限个大于零小于1的数的乘积会越乘越小,最终积等于零.”

这两种观点究竟正确不正确?下面,我们进行讨论.

首先,第一种观点是不正确的.众所周知,“如果有限个数的乘积等于零,则至少有一个因数等于零”这个结论,第一种观点不正确的根源是错误地将无限当作有限来处理.我们都知道“量变引起质变”这个哲学原理.事实上,无限个大于零小于1的数的乘积可以等于零.例如,文[1]给出了这样一个例题:如果0

其次,第二种观点也不正确,其根源是考虑问题不全面.虽然有无限个大于零小于1的数的乘积等于零,但是也有无限个大于零小于1的数的乘积不等于零,也就是说无限个大于零小于1的数的乘积不一定都等于零. 事实上,文[2]给出了这样几个例题.

例1当n=2,3,4,…时,0<1-1n<1,则 limn→∞(1-1n)n2=0,即无限个大于零小于1的数1-1n的乘积等于零.

解令y=(1-1x)x2, 因为 由洛必达法则得

limx→+∞ln y=limx→+∞x2ln(1-1x)=limx→+∞lnx-1x1x2

=limx→+∞xx-1·1x2-2x3=limx→+∞-x22x-1=-∞,

所以limx→+∞(1-1x)x2=0,故limn→∞(1-1n)n2=0 .

例2当n=2,3,4,…时,0<1-1n<1,则 limn→∞(1-1n)n=1e,即无限个大于零小于1的数1-1n的乘积不等于零.

解 由文[3],limx→+∞(1-1x)x=1e,得limn→∞(1-1n)n=1e.

例3当n=2,3,4,…时,0<1-1n2<1,则 limn→∞(1-1n2)n=1,即无限个大于零小于1的数1-1n2的乘积等于1.

解由文[4]知limn→∞(1-1n2)n=elim[]n→∞[X)]-1n2·n=e0=1.

综上所述,我们得到以下结论:

结论1 无限个相等的大于零小于1的数的乘积一定等于零.

实际上,结论1是针对指数函数而言的.但对于像例1、例2、例3中的数的乘积,情况就不同了.实际上它们都是幂指函数,比如,n=100,例1相当于是10000个0.99相乘;例2相当于是100个0.99相乘;例3相当于是100个0.9999相乘.因此,对于像这样的幂指函数的乘积,我们得出以下结论:

结论2无限个大于零小于1的呈现幂指函数形式的数的乘积不一定等于零.

就是说无限个大于零小于1的呈现幂指函数形式的数的乘积可能等于零,可能等于介于零与1之间的某个数,也可能等于1.

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2014,27-28.

[2]薛利敏.观察法在高等数学教学中的应用[J].渭南师范学院学报,2014,(19):9-13.

[3]薛利敏,赵小鹏. 高等数学(第三版)[M].西安:西北大学出版社,2014,39.

[4]陈文灯,黄先开.考研数学复习指南[M].北京:世界图书出版公司,2010,25.

作者简介田亚丽,女,1965年9月生,陕西渭南人,中学高级教师,陕西省省级教学能手,发表论文20余篇.

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