无限个大于零小于1的数的乘积等于零吗

无限个大于零小于1的数的乘积等于零吗？关于这个问题，我与很多同行老师进行了探讨，归纳为两种观点.一种观点是：“无限个大于零小于1的数的乘积一定不等于零，原因很简单，因为如果积等于零，则至少有一个因数等于零.”另一种观点是：“无限个大于零小于1的数的乘积一定等于零，原因也很简单，因为一个数乘一个大于零小于1的数的积会变小，因此无限个大于零小于1的数的乘积会越乘越小，最终积等于零.”

这两种观点究竟正确不正确？下面，我们进行讨论.

首先，第一种观点是不正确的.众所周知，“如果有限个数的乘积等于零，则至少有一个因数等于零”这个结论，第一种观点不正确的根源是错误地将无限当作有限来处理.我们都知道“量变引起质变”这个哲学原理.事实上，无限个大于零小于1的数的乘积可以等于零.例如，文[1]给出了这样一个例题：如果0

其次，第二种观点也不正确，其根源是考虑问题不全面.虽然有无限个大于零小于1的数的乘积等于零，但是也有无限个大于零小于1的数的乘积不等于零，也就是说无限个大于零小于1的数的乘积不一定都等于零. 事实上，文[2]给出了这样几个例题.

例1当n=2，3，4，…时，0<1-1n<1，则 limn→∞（1-1n）n2=0，即无限个大于零小于1的数1-1n的乘积等于零.

解令y=（1-1x）x2， 因为 由洛必达法则得

limx→+∞ln y=limx→+∞x2ln（1-1x）=limx→+∞lnx-1x1x2

=limx→+∞xx-1·1x2-2x3=limx→+∞-x22x-1=-∞，

所以limx→+∞（1-1x）x2=0，故limn→∞（1-1n）n2=0 .

例2当n=2，3，4，…时，0<1-1n<1，则 limn→∞（1-1n）n=1e，即无限个大于零小于1的数1-1n的乘积不等于零.

解 由文[3]，limx→+∞（1-1x）x=1e，得limn→∞（1-1n）n=1e.

例3当n=2，3，4，…时，0<1-1n2<1，则 limn→∞（1-1n2）n=1，即无限个大于零小于1的数1-1n2的乘积等于1.

解由文[4]知limn→∞（1-1n2）n=elim[]n→∞[X）]-1n2·n=e0=1.

综上所述，我们得到以下结论：

结论1 无限个相等的大于零小于1的数的乘积一定等于零.

实际上，结论1是针对指数函数而言的.但对于像例1、例2、例3中的数的乘积，情况就不同了.实际上它们都是幂指函数，比如，n=100，例1相当于是10000个0.99相乘；例2相当于是100个0.99相乘；例3相当于是100个0.9999相乘.因此，对于像这样的幂指函数的乘积，我们得出以下结论：

结论2无限个大于零小于1的呈现幂指函数形式的数的乘积不一定等于零.

就是说无限个大于零小于1的呈现幂指函数形式的数的乘积可能等于零，可能等于介于零与1之间的某个数，也可能等于1.

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014，27-28.

[2]薛利敏.观察法在高等数学教学中的应用[J].渭南师范学院学报，2014，（19）：9-13.

[3]薛利敏，赵小鹏. 高等数学（第三版）[M].西安：西北大学出版社，2014，39.

[4]陈文灯，黄先开.考研数学复习指南[M].北京：世界图书出版公司，2010，25.

作者简介田亚丽，女，1965年9月生，陕西渭南人，中学高级教师，陕西省省级教学能手，发表论文20余篇.