2015年高考数学中的新定义型试题例析
2015-10-08魏巍
纵观近几年的高考数学命题，可以发现“新定义”问题越来越受到重视.这类题目以能力立意为目标，集应用性、探索性和开放性于一体，在全面考查学生的数学知识、方法及数学思想的基础上，进一步考查学生的创新探究能力与学习潜力等综合素质.
新定义题，是指在中学数学教材中没有学过的新概念、新符号、新运算等，需要学生利用已有知识、能力进行阅读理解，并结合新概念解决问题的题目.下面对2015年高考中新定义型试题的三种题型进行分析.1函数新定义
例1（2015年湖北理6）已知符号函数sgnx=1，x>0，
0，x=0，
-1，x<0，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1），则（）.
A.sgn[g（x）]=sgnx
B.sgn[g（x）]=sgn[f（x）]
C.sgn[g（x）]=-sgnx
D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]
解析分类比较x与ax的大小，根据f（x）的单调性确定g（x）的符号，从而确定sgn[g（x）]，再结合选项进行判断.
因为a>1，所以当x>0时，x
点评此题结合高等数学中“符号函数”来编拟适合高中生的试题，体现了高等数学与中学数学的和谐美.本题较好地考查了学生的知识迁移能力、转化能力及探究能力，是高考命题者喜欢的题型.2实数运算新定义
例2（2015年山东文14）定义运算“”：xy=x2-y2xyx，y∈R，xy≠0.当x>0，y>0时，xy+2yx的最小值为.
解析先利用定义的新运算写出解析式：xy+2yx=x2-y2xy+4y2-x22xy=x2y+yx，再利用基本不等式求得xy+2yx的最小值为2，当且仅当x=2y时等号成立.
点评在高考题中引入新的符号，通过定义一种新的运算，考查学生的自学能力和探究能力.通过分析这类题目，给中学老师一种启发，就是在实际教学过程中，一定要注意培养学生的独立思考能力及自主探索的能力.
例3（2015年福建理15）一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn（n∈N*），其中xk（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，
x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，其中⊕运算定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于.
解析二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，说明在x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1中仅有一个等式错误.根据⊕定义可得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1⊕0⊕0⊕1=0，所以x2=1，，x3=0，x6=0，x7=1是正确的.又因为
x4⊕x5⊕x6⊕x7=1⊕1⊕0⊕1=1≠0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=1⊕0⊕1⊕1=1≠0，故x1，x4，x5都错误，或仅x5错误.因为条件中要求仅在第k位发生码元错误，故只有x5错误.
点评本题所定义的运算法则实质上是计算机中的二进制运算.掌握计算机知识已成为现代公民的基本素养，所以在日常教学中应引导学生关注生活，注重应用.对于新运算应该紧扣运算法则，通过推导判断，从而获得正确的结论.3集合运算新定义
例4（2015年浙江理6）设集合A，B是有限集，定义d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），
其中card（A）表示有限集A中元素的个数.
命题①：对于任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要条件；
命题②：对于任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）.
A.命题①和命题②都成立
B.命题①和命题②都不成立
C.命题①成立，命题②不成立
D.命题①不成立，命题②成立
解法一命题①成立，若A≠B，则card（A∪B）>card（A∩B），
所以d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B）>0成立.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要条件；
命题②成立，由Venn图知card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B），
d（A，C）=card（A）+card（C）-2card（A∩C），
d（B，C）=card（B）+card（C）-2card（B∩C），
d（A，B）+d（B，C）-d（A，C）
=card（A）+card（B）-2card（A∩B）+card（B）+card（C）-2card（B∩C）
-[card（A）+card（C）-2card（A∩C）]
=2card（B）-2card（A∩B）-2card（B∩C）+2card（A∩C）
=2card（B）+2card（A∩C）-2[card（A∩B）+card（B∩C）]
≥2card（B）+2card（A∩C）-2[card（（A∪C）∩B）+card（A∩B∩C）]
=[2card（B）-2card（（A∪C）∩B）]+[2card（A∩C）-card（A∩B∩C）]≥0.
所以d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）得证.选A.
解法二画集合的Venn图，ni（ni≥0）表示区域内元素的个数.
由图甲知d（A，B）=（n1+n3+n2）-n3=n1+n2，A≠B等价于d（A，B）>0，命题①成立.
由图乙知d（A，C）=（n1+n4）+（n3+n6）=n1+n3+n4+n6.
d（A，B）+d（B，C）=[（n1+n5）+（n2+n6）]+[（n2+n4）+（n3+n5）]=（n1+n3+n4+n6）+2（n2+n5）.
d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C），当A=B=C时等号成立，命题②成立，故选A.
点评本题是结合集合概念以及充要条件判断的新定义问题，考查学生的阅读理解能力、创新能力及推理论证能力.
例5（2015年湖北理9文10）已知集合A={（x，y）x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）x≤2，y≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）.
A.77B.49C.45D.30
解析集合A={（x，y）x2+y2≤1，x，y∈Z}={（x，y）x=±1，y=0；或x=0，y=±1；或x=0，y=0}，
集合B={（x，y）x≤2，y≤2，x，y∈Z}={（x，y）x=-2，-1，0，1，2；y=-2，-1，0，1，2}.
集合A⊕B表示点集.
由x1=-1，0，1，x2=-2，-1，0，1，2，得x1+x2=-3，-2，-1，0，1，2，3共7种取值可能.
同理，由y1=-1，0，1，y2=-2，-1，0，1，2，可得y1+y2=-3，-2，-1，0，1，2，3共7种取值可能.
当x1+x2=-3或3时，y1+y2可以为-2，-1，0，1，2中的一个值，分别构成5个不同的点；
当x1+x2为-2，-1，0，1，2时，y1+y2可以为-3，-2，-1，0，1，2，3中的一个值，分别构成7个不同的点；
故A⊕B共有5×2+5×7=45（个）元素，选C.
点评在集合知识的基础上，引入集合新运算，考查了知识迁移能力，以及分析问题解决问题的能力.在确定集合A⊕B中元素的个数时，考查了数据的处理能力以及分类讨论思想的应用.
在高考命题“由知识立意向能力立意过渡”指导思想的要求下，新定义题型会受到命题者更多青睐，须引起广大师生的重视.
作者简介魏巍，1980年生，山东青岛人，中学一级教师，教育硕士.工作期间，多次被评为优秀教师、三八红旗手，2007年参加济宁市优质课评比获二等奖.
