运用定义解2015年高考数学题及其启示

一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭示其本质特征的.但在这之前，有一个通过实例、练习及口头描述来理解的阶段.比如，儿童对自然数，对运算结果——和、差、积、商的理解，就是如此.到高年级，开始出现以文字表达一个数学概念，即定义的方式，如分数、比例、极值等.有些数学概念要经过长期的酝酿，最后才以定义的形式表达，如函数、导数、等差等比数列、极限等.定义是准确地表达数学概念的方式，定义也是思维的起点.仔细研究2015年各地高考试题，发现考查定义、运用定义解题的问题不少.下面我们举例说明，期望对考生的复习备考有帮助.1运用定义解2015年高考数学题

1.1运用函数定义

例1（2015年浙江卷理科7）存在函数f（x）满足：对于任意x∈R都有（）.

A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

解析取x=0，可知f（sin0）=sin0=0，再取x=π2，可知f（sinπ）=sinπ2=1，所以不存在函数f（x），使得f（sin2x）=sinx，否则有f（0）=0且f（0）=1，不满足函数概念的唯一性.所以A错.

取x=0，可知f（sin0）=sin0=0，再取x=π2，可知f（sinπ）=π22+π2，同样，不存在函数f（x）使得f（sin2x）=x2+x，否则有f（0）=0且f（0）=π22+π2，不满足函数概念的唯一性.所以B错.

取x=1，可得f（2）=2，再取x=-1，可得f（2）=0，所以C错.

所以，选D.事实上，存在函数f（x）=x+1使得f（x2+2x）=|x+1|成立.

点评定义是教学之根，把根留住数学的天地才能郁郁葱葱.

1.2运用反函数定义

例2（2015年上海卷理科10）设f-1（x）为f（x）=2x-2+x2，x∈0，2的反函数，则y=f（x）+f-1（x）的最大值为.

解析函数f（x）=2x-2+x2，x∈0，2是增函数，所以f（x）的最大值是f（2）=1+1=2，最小值是f（0）=14.所以f（x）的值域是14，2.

因为原函数y=f（x）与其反函数y=f-1（x）关于直线y=x对称，若（a，b）在原函数y=f（x）的图象上（即f（a）=b），则（b，a）在反函数y=f-1（x）的图象上（即a=f-1（b）），又f（x）=2x-2+x2，x∈0，2的反函数f-1x也是增函数，反函数的定义域14，2，

值域为0，2，所以反函数的最大值为2，

所以y=fx+f-1x的最大值为f（2）+f-1（2）=2+2=4.

点评本题是利用函数与其反函数定义和性质求解的问题，具体求出反函数解析式是不可能的，要对函数与其反函数的关系很清楚：（1）函数与其反函数在其定义域内有相同的单调性，（2）函数与其反函数图象关于直线y=x对称，（3）若点（x，y）在原函数图象上，则点（y，x）在其反函数图象上.

13运用二面角定义图1

例3（2015年浙江卷理科8）如图1，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′—CD—B的平面角为α，则（）.

A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α

解析这是一个动态问题，在变化中蕴含不变的东西.当翻折180°时，若AC=BC，则∠A′DB=α=0，∠A′CB=α=0；当AC≠BC时，∠A′DB>0，∠A′CB>0，α=0.此时，A和C错.

当翻折0°时，α=180°，∠A′DB=180°，∠A′CB<180°.此时，D错.

只有B在两种情况下均成立，所以选B.

点评二面角的取值范围是[0°，180°]，即问题包含翻折180°和无翻折的情形，利用这个特殊情形可快速求解.

1.4运用圆锥曲线定义

例4（2015年浙江卷理科5）如图2所示，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）.

A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1

图2

解析如图2，过A作AM垂直于准线x=-1，垂足为M，AM交y轴于A1，过B作BN垂直于准线x=-1，垂足为N，BN交y轴于B1，则AF=AM，BF=BN，所以

△BCF△ACF=BCAC=CB1CA1=BB1AA1=BF-1AF-1.故选A.

点评利用抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，可以帮助我们快速解题.图3

例5（2015年重庆卷理科21）如图3所示，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.

（1）若|PF1|=2+2，|PF2|=2-2，求椭圆的标准方程；

（2）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e.

解（1）由椭圆的定义，得2a=|PF1|+|PF2|=（2+2）+（2-2）=4，故a=2.

设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，得2c=

|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=

（2+2）2+（2-2）2=23，

即c=3，从而b=a2-c2=1.

故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.

（2）方法一如图3，设点P（x0，y0），由点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，得

x20a2+y20b2=1，x20+y20=c2，

求得x0=±aca2-2b2，y0=±b2c.

由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0，从而

|PF1|2=（aa2-2b2c+c）2+b4c2

=2（a2-b2）+2aa2-2b2=（a+a2-2b2）2.

由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a.从而由

|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，得|QF1|=4a-2|PF1|.

又由PF1⊥PF2，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=2|PF1|，因此

（2+2）|PF1|=4a，即（2+2）（a+a2-2b2）=4a，

于是（2+2）（1+2e2-1）=4，解得

e=12×1+（42+2-1）2=6-3.

方法二如图3，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，得|QF1|=4a-2|PF1|.

又由PF1⊥PQ，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=2|PF1|，因此，4a-2|PF1|=2|PF1|，得|PF1|=2（2-2）a，从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2（2-2）a=2（2-1）a.

由PF1⊥PF2，知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=（2c）2，因此

e=ca=|PF1|2+|PF2|22a=

（2-2）2+（2-1）2=9-62=6-3.

点评解这样的题目，圆的定义、椭圆的定义都派上了用场.

1.5运用指数式与对数式定义

例6（2015年浙江卷理科12）若a=log43，则2a+2-a=.

解析因为a=log43，所以4a=32a=3，所以2a+2-a=3+13=433.

点评这是一个简单问题，只要弄清楚指数式与对数式转换的定义即可求解.

1.6运用奇偶函数定义

例7（2015年广东卷理科3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）.

A.y=1+x2B.y=x+1xC.y=2x+12xD.y=x+ex

解析若f（x）=1+x2，则f（-x）=1+（-x）2=1+x2=f（x）（x∈R），即A是偶函数；若f（x）=x+1x，则f（-x）=-x-1x=-x+1x=-f（x）（x≠0），即B是奇函数；若f（x）=2x+12x，则f（-x）=2-x+12-x=12x+2x=f（x）（x∈R），即C是偶函数；令f（x）=x+ex，则f（1）=1+e，f（-1）=-1+e-1，即f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），所以y=x+ex既不是奇函数也不是偶函数，故选D.

点评本题考查函数的奇偶性，属于容易题.

例8（2015年新课标全国卷Ⅰ，理科13）若函数f（x）=xln（x+a+x2）为偶函数，则a=.

解析由f（-x）=f（x）得-xln（-x+a+x2）=xln（x+a+x2），即x[ln（x+a+x2）+ln（-x+a+x2]=xlna=0对定义域内的任意x恒成立，因为x不恒为0，所以lna=0，所以a=1.

1.7考查充要条件的定义

例9（2015年北京卷理科4）设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα.“m∥β”是“α∥β”的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析因为α，β是两个不同的平面，m是直线且mα.若“m∥β”，则平面α，β可能相交也可能平行，不能推出α∥β，反过来若α∥β，由面面平行定义知α∩β=，又mα，所以m∩β=，所以m∥β，从而“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.选B.

点评本题考查了面面平行的定义和性质，空间直线与平面的位置关系，充要条件等.

1.8运用排列组合定义

例10（新课标全国卷Ⅰ理科10）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）.

A.10B.20C.30D.60

解析在（x2+x+y）5的5个因式中，2个取因式中的x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，故x5y2的系数为C25C13C22=30，故选C.

点评本题还有其它解法，但运用排列组合定义能直达目标.其实，二项式定理就是通过排列组合定义推导出来的，利用证明定理的方法解决问题也是重要方法.

1.9应用数列前n项和定义

例11（新课标全国卷Ⅱ理科16）设n是数列{an}的前n项和，且a1=-1，an+1=nn+1，则n=.

解析因为a1=-1，an+1=nn+1，所以1=-1，n+1-n=nn+1，所以1n+1-1n=-1，所以数列1n是首项为-1，公差为-1的等差数列，所以1n=-1-（n-1）=-n，所以n=-1n.

点评应用数列前n项和定义得出an+1=n+1-n=nn+1，再构造等差数列是解题的关键.

1.10新定义问题

例12（2015年浙江卷理科6）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中元素的个数.

命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要条件；

命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）.

A.命题①和命题②都成立

B.命题①和命题②都不成立

C.命题①成立，命题②不成立

D.命题①不成立，命题②成立

解析画出文氏图可知，无论是A∩B≠，A∩B=，A=B，AB，BA，命题①均正确，再画出A、B、C所有可能的情形，可得命题②正确.选A.图4

例13（2015年北京卷理科8）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图4描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）.

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

解析“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km，行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选D.

点评本题是函数应用问题，考查了对“燃油效率”新定义的理解及对图象的理解.新定义问题是高考数学的热门话题，几乎每年都有此类问题出现——为了公平，为了考查学习能力.

在2015年的高考中，我们还可以找到一些运用定义解题的例子，可以说，考查定义的掌握程度是高考命题的一个重要方向.2启示

定义是思维的基本形式，具有确定研究对象和任务的作用.数学定义则是客观事物中数与形的本质属性的反映.数学定义是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解决问题能力的的前提，是数学学科的灵魂和精髓.因此，数学定义教学是“双基”教学的核心之一，是数学教学的重要组成部分，所以必须引起足够重视.从2015年的高考题重视对定义的考查，可以预见未来还会重视对定义的考查.

在平时学习定义时，力求明了：①该定义讨论的对象是什么？②定义中有哪些规定和限制条件？它们与已掌握的旧知识有何联系？③定义的名称、表述的语言有何特点？与日常生活用语、与其它相应概念比较，有没有容易混淆的地方？应当怎样区别？④该定义有没有重要的等价叙述？为什么等价？⑤由该定义中的条件和规定，能够归纳出哪些基本的性质？各个性质在具体运用中有何作用？能派生出哪些数学思想方法？等等.

在教学中要克服定义随便讲，或者讲得肤浅的做法.不要以为深刻定义会挤占习题的时间，影响学生成绩的提高.其实，概念定义清楚了，更容易把握数学本质，做题就更节省时间，也是提高教学质量的重要一环.

作者简介童其林，男，1963年生，中学高级教师，福建省特级教师，龙岩市杰出人民教师，曾有200余篇文章发表，主要从事教学管理研究与数学教学研究.