2015年江苏高考应用题错解分析及阅卷启示

魏良亚+韦莉

笔者有幸参加了2015年江苏省高考数学阅卷工作，评改第l7题应用题，从阅卷点来看该题全省平均分约为75分，问题难度不是很大，但得分率不高.一线教师都清楚大部分学生不喜欢应用题，难一些的应用题考试时学生甚至放弃不做.究其原因，主要是因为学生经常遇到较难的应用题，读不懂、做不出，久了自然就产生了畏惧心理.今年江苏应用题主要考查函数模型、函数最值等几个基础知识点，该题的背景涉及公路交通布局，贴近生活，为考生所熟悉，数学建模简单.从阅卷情况看，学生的错误五花八门，形态各异，本文试图沿着学生外在的错误去探寻它们的形成原因，并给出教学建议.1试题再现及标准答案

题目某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和25千米.以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y=ax2+b（其中a，b为常数）模型.

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

标准答案：由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5）.

将其分别代人y=ax2+b，得a25+b=40，

a400+b=2.5，解得a=1000，

b=0.

（2）①由（1）知，y=1000x2（5≤x≤20），则点Ρ的坐标为t，1000t2，

设在点Ρ处的切线l交x，y轴分别于Α，Β点，y′=-2000x3，

则l的方程为y-1000t2=-2000t3（x-t），由此得A（3t2，0），B（0，3000t2）.

故f（t）=（3t2）2+（3000t2）2=32t2+4×106t4，t∈[5，20].

②设g（t）=t2+4×106t4，则g′（t）=2t-16×106t5.令g′（t）=0，解得t=102.

当t∈（5，102）时，g′（t）<0，g（t）是减函数；

当t∈（102，20）时，g′（t）>0，g（t）是增函数；

从而，当t=102时，函数g（t）有极小值，也是最小值，所以g（t）min=300，

此时f（t）min=153.

答：当t=102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米.2错解及错因分析

错因1数学阅读能力差，基本概念模糊，导致题意理解错误.

第1小题中求a，b的值，很多考生将点M，N的坐标写成（40，5），（2.5，20），从而导致求a，b的值出错.错误的主要原因是学生对点坐标的概念理解不到位，将题意中的距离与坐标混淆.事实上点M到的l1（即y轴）的距离应该是点M横坐标的绝对值，点M到l2（即x轴）的距离应该是点M纵坐标的绝对值.同样，点N到l1（即y轴）的距离应该是点N横坐标的绝对值，点N到l2（即x轴）的距离应该是点N纵坐标的绝对值，即点M，N的坐标为（5，40），（20，2.5）.

第2小题第1问中，求公路l长度的函数解析式f（t），首先必须求出切线l的方程，然后再求出其与坐标轴的交点，从而求出f（t）.解题时学生首先要知晓导数的几何意义即为切线的斜率，再结合切点的坐标求出含有参数t的直线l的方程.

第一种错误是，学生对题干信息“公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t”束手无策，主要是对导数概念的几何本质认识不清，不知道曲线在某点处导数的几何意义就是以该点为切点的切线的斜率，所以就不能正确地将描述几何特征的文字语言“公路l与曲线C相切”转化成可解决的数学语言，无法求出切线方程.

第二种错误是，许多考生在求得切线l的方程y-1000t2=-2000t3（x-t）后，直接将y换成f（t），化简成f（t）=-2000t3（x-t）+1000t2后就结束了.误认为含有t的表达式就是要求的函数解析式f（t），审题不清，答非所问.

这一类错误主要由于下面的两方面原因所致：一是考生对一些基本的数学概念理解不透，从而无法正确应用概念解题，就像一位棋手，如果他没有搞清楚下棋的规则，就无法赢得下棋比赛一样.二是部分考生的数学阅读能力相对较差，不能将应用题中的文字语言准确地转化成数学符号语言.另外，考生将y直接换成f（t），是将问题中的“直线l的方程”和“线段的长度”这两个简单的概念混淆，说明没有养成对自己的解题过程进行反思和利用自己的结果对过程进行推理验证的习惯.

错因2运算基本技能差，导致解题思路正确但过程错误.

第1小题，很多学生在得出方程组a25+b=40

a400+b=2.5后，不能正确地求解方程组，从而失分.第2小题第1问中，在求解切线y-1000t2=-2000t3（x-t）与坐标轴交点时，有部分考生不能正确求解出结果，从而导致线段长度的函数解析式f（t）不正确而失分.第2小题第2问中，运用导数的知识求解f（t）最值时，部分考生直接对f（t）=（3t2）2+（3000t2）2进行求导，而没有将根号下面的式子单独拿出处理，从而使求解过程复杂易错，再加上对导数公式运用不熟练，这样直接求导的不少考生没有处理出正确的导函数.可见考生缺少必要的化归意识.事实上，文科考生也不要求掌握复合函数求导法则.另外，在求解导数g′（t）=2t-16×106t5的极值点时，关于方程g′（t）=2t-16×106t5=0，很多考生求得的结果错误，如t=88×106、t=1002等根式运算、化简错误导致失分.还有考生没有化简，如t=1068、t=68×106、t=320002、当然没化简不会扣分，这些都说明考生的基本运算和处理数据的能力还有所欠缺.

第2小题第2问有些考生直接应用基本不等式g（t）=t2+4×106t4≥2t2·4×106t4，得出错误的结论.这主要是因为考生没有考虑到基本不等式应用条件中的“定值”.也有很多学生将f（t）=（3t2）2+（3000t2）2变形为9t28+9t28+9×106t4，对9t28+9t28+9×106t4应用推广的均值不等式进行求解，可能是没搞清楚补充的推广式，出现较多的错误，如9t28+9t28+9×106t4≥39t28·9t28·9×106t4、9t28+9t28+9×106t4≥29t28·9t28·9×106t4、9t28+9t28+9×106t4≥39t28·9t28·9×106t4、9t28+9t28+9×106t4≥239t28·9t28·9×106t4等错误，推广的均值不等式a+b+c≥33abc是理科选修内容，大部分考生是通过老师课堂补充而知道的，但似懂非懂，对式子的形式不是很熟悉，从而导致应用时出现了各种错误.可见教师在课堂上补充超出课程标准要求的一些概念公式并非是明智之举，不仅会给学生造成额外的负担，更可怕的是学生应用这些似懂非懂的知识解题会犯错.3关于教学的建议

从整体的答卷情况来看，大部分考生应用题出错，不仅有其主观原因，也反映出我们教学中存在的不足.笔者认为在日常教学过程中关注以下几点，有助于提升考生解答应用题的得分率.

31加强概念教学

数学概念往往具有较强的概括性，概念性知识的学习主要要求学生能够理解概念的内涵，从心理学的角度看就是要求学生将新的概念知识与大脑中原有知识体系建立联系.基于建构主义学习理论，对概念性知识的理解是学生在教师引导下自己主动建构得来，不是教师以组织好的最佳方式直接传输给学生.概念教学是数学教学的基础，概念本身应该是概念课的思维结果，是学生要掌握概念，所以概念的生成要由学生自己完成，不能由教师直接呈现.否则概念仍然是老师的而不是学生的.教师需要做的事就是设置恰当的问题引导学生思考概念的本质.明了概念提出的必要性和合理性.设法让学生切实感知这个概念是我们已有知识系统的必要完善，从而使学生新学习的概念可以自然融入已有知识系统.习得的知识只有融入到学生已有的知识体系中才能长久保持和适时提取应用.需要指出的是课堂必须给学生逐步认识概念本质、生成概念的时间，我们教师不必也不能人为地加速学生概念生成过程.可以说高中数学的教学一大部分是概念的教学，学生如果吃透概念的本质，搭建好概念框架，高中数学的学习必然会游刃有余.

3.2提升学生的基本能力

应用题对学生的阅读能力、探究能力、概括能力、运算能力等都提出了较高的要求.在这些基本能力中阅读能力是求解应用题的基础，也是我们学生特别欠缺的.所以，在日常的应用题教学中要特别注重培养学生数学阅读能力.应用题来自生活中的一些实际问题，而我们学生社会阅历尚浅，对不少应用题的背景难以理解，这就造成了他们无法读懂题目，更谈不上将文字语言转化成数学表达式.因此，教师在应用题教学中要加强对问题背景的分析梳理.另外，从本题的计算过程来看，很多考生的计算能力比较薄弱，这就要求我们在日常教学中加强对复杂的数值运算及含参数表达式的运算练习，在练习中总结经验、提高运算准确性，只有这样学生才能在考场上稳操胜券.

3.3注意解题规范

高考阅卷评分实行“按点评分”，考生答题时要特别注意表达准确、考虑周密、书写规范，关键步骤清晰.这就要求我们教师在讲解题目的过程中，要注重板书规范，表达科学准确.强调分步求解，避免因“会而不对，对而不全”而失分，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，让学生清楚需要写出哪些必要的证明过程与演算过程，其中每一步骤按照评分标准都占多少分值，使解题步骤繁简适当，在争取更多答题时间的同时减少不必要的失分，从而有效提高数学成绩.