构造性方法在高中数学解题中的应用

李斌

【摘 要】构造法是一种富有创造性的解题方法，对培养学生的创造性思维有着重要意义。 新一轮的课程改革增加了向量、概率、算法、微积分等知识，并强调数学知识点的相互融合，这使构造法的应用更加广泛。综合相关文献资料发现，广大教育工作者已经对构造法解题的基本类型、构造法的功能及构造法对思维能力的培养有了广泛的研究，但针对新教材中的新内容却很少涉及。文章通过对向量、概率、算法、微积分等七块知识点的举例研究，初步探讨构造法在高中数学解题中的应用。

【关键词】构造法 高中数学 新教材 解题

1构造思想与构造法

构造思想是一种数学思想，它用构造的策略来解决问题，反映了构造法的实质。构造法是一种数学方法，是采用构造的方法去执行这种策略的具体手段。其实质构造思想与构造法互为表里，在数学活动中的表现形态不具备明确的界限，故统称为构造思想方法，简称构造性方法。

构造性方法的实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式，从而使问题转化并解决的方法。

2怎样用构造法解题

数学解题方法形式多样，种类繁多，构造性解题方法就是其中一种。“构造”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式。要用好这一方法，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。构造性解题方法很好地体现了数形结合、类比、转化等数学思想，也渗透了猜想、换元、归纳概括、特殊化等重要的数学方法。

应用构造法解题的关键有以下几点：

（1）要有扎实的数学基础知识。使用构造法解题是对已有知识和方法采取分解、组合、变换、类比、限定、推广等手段进行思维的再创造，构成新的式子或图形来帮助解题。因此已有的知识和方法必须丰富、扎实。

（2）要有明确的方向，即要明确为了解决什么问题而建立一个相关的构造。一般的，在解题过程中，根据所给命题的题设条件或结论的结构特征，利用多种知识的内在联系，或形式上的某种相似性，有目的地构造一个相应的数学模型，使原命题转化为一个与之等价却又具有某种被赋予特定意义的命题，通过对它的讨论而使原命题得到解决。

（3）要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑整合。用构造法解题有两种结果：一种是通过构造某个模型直接得到答案；另一种是把构造出的模型应用于已知条件中，从而得到答案。因此，要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑整合。

3构造法在高中数学新教材各类型内容中的应用

2003年我国颁布了《普通高中数学课程标准》，这一次数学课程改革，使得数学课程在教学内容上发生了很大的变化。它削减了数列极限、函数极限、数学归纳法、二项式定理、复数等内容，降低了解析几何的难度，增加了幂函数、用向量方法证几何题、算法、条件概率、几何概型、微积分等内容。

构造法是一种创造性的解题方法，在函数、向量、几何、算法等内容中都有着广泛的应用，所以我相信，用构造法解题会越来越普遍，成为一种师生所熟练应用的解题方法。下面笔者针对新教材中改动较多的内容，分类举例，体现构造法在解题中的应用。

3.1 构造法在函数中的应用

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它贯穿高中数学课程的始终。因此，无论是用构造法解函数题还是构造函数解其他题目，都有着广泛的应用。对于某个函数题，找不到已知条件与未知量的直接关系，或者想到一道与此题相似的题目，但需要引进辅助元素，此时就要考虑用构造法解函数题；对于某些问题，可以从中找出作为自变量的因素或是可以表示成某一变量的函数，从而利用函数性质解决问题。

3.2 构造法在解析几何中的应用

解析几何往往是学生很怕遇到的题目，因为它综合性强，数形结合紧密。尤其是圆锥曲线方程，经过人为雕琢，经常作为高考压轴题，难度非常高。新课改降低了解析几何中二次曲线的要求，以掌握基本的几何知识为主，不必在一些人为的难题上逗留。但新课程改革强调数学的各部分知识都应该紧密结合，不能几何是几何，代数是代数。所以解析几何和代数的联系会更加紧密。我们可以用解析几何的知识去解代数题，也可以用代数的知识去解解析几何题。

4总结与思考

构造法在高中数学解题中的应用非常广泛，不论是添加辅助线还是利用数形结合的数学思想，都会用到构造思想。尤其在新教材中，增加了向量与空间几何、概率、算法、微积分等知识，用向量来证几何题要构造向量；用几何模型求概率要构造二维坐标；用计算机帮助解决繁难问题要构造算法；求图形的面积要构造微积分，这使构造法在高中数学解题中的应用更加广泛。而且新课标还指出：“要将数学的知识点融合在一起，不能代数就是代数，几何就是几何。”这要求我们将几何与代数整合起来，在适当的时候利用代数的知识解决几何问题，例如构造向量证几何题、构造不等式做解析几何题等；也可以利用几何的知识解决代数问题，例如构造二维坐标求概率、构造直线与点证不等式等。

通过对构造法解题的探讨，可以得出以下几点深刻的思想启示：

（1）构造思想在解决数学问题中起到化简、转化和桥梁作用，要运用这种方法，就要求掌握各种基本方法，分析题目特点，进行创造性联想。

（2）运用构造法解决问题，可以使数学各分支知识相互渗透，有利于提高分析问题和解决问题的能力。

（3）数学各分支知识为构造法解题提供了广阔而丰富的背景，构造方式是最为重要的，有必要留意体会和理解记忆所构造成的辅助元素的含义和作用，以便在数学研究和教学中重视掌握这一独特有效的方法。