挖掘思想方法 培养思维能力

毛增福

【摘要】数学思想方法，相对于数学知识而言，它的呈现是隐蔽的，是学生难以独立地从教材的字里行间直接获取的，它隐含于数学知识与教学活动中。本文就初三平面几何“圆周角”一节的教学谈些这方面的作法与体会。

【关键词】数学思想方法 教学活动 圆周角

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）09-0140-01

一、运动变化、引出定义，培养学生的运动变化观和建立数学概念的能力

圆周角和圆心角都是与圆有关的角，用运动变化观，它们是同一运动条件下的两个不同的运动状态。由于事物间的因果关系、本质特征最容易从运动中显示出来，如何把静止的问题变成动态的问题，让学生受到一次运动观的熏陶，笔者作了如下设计：

演示如下：在橡皮筋AB上任取一点C，将这点运动到圆内，圆外、圆心、圆上……

教师启发引导：当角的顶点运动到圆内时，这角管它圆内角；运动到圆外时，这角叫做圆外角；运动到圆心时，已知它是圆心角，运动到圆上时，这是一种什么角？

由此通过运动变化的演示，引出圆周角的由来，并引导学生从运动变化的演示中观察圆周角的特征，归纳出圆周角的定义，引出课题。

这种引入的过程，不仅使学生了解了概念产生的来龙去脉以及本质特征，还加深了对隐含概念本身的动静辩证思想的理解和认识。

二、类比联想、探讨结论，培养观察、分析、比较、归纳，猜想及探索能力

作为教材的课本一般都是直截了当给出发现的结果。圆周角定理也一样，隐去了数学家们曲折的探索、分析和归纳等发现过程。作为教师，如何通过教学设计，引导学生参与知识的探讨与发现活动，培养学生正确、科学的思维方式，运用基本的数学思想方法研究问题的能力，这是比數学知识更值得重视的问题。因具体的数学知识随着时间的推移可能会遗忘，而这些数学思想方法学生将会终身受益。笔者引导学生自己发现圆周角定理的教学设计如下：

引导1 在圆心角的学习中，一条弧确定一个圆心角，对于圆周角，一条弧所对的圆周角有多少呢？

观察教师演示：在自制模型中，演示■所对的圆周角有多少，让顶点C在AC1B上运动，由于橡皮筋的弹性作用，不论C运动到什么位置，始终构成AB所对的一个圆周角。

引导2 上面的演示说明了一条弧所对的圆周角有无数多个，由于它们顶点的变化，这些角的形状与位置也随着变化，它们的大小是怎样的关系呢？

观察教师演示：先考察■所对的圆周角的关系，在模型中，任意固定■所对的某一个圆周角顶点C的位置，得到■所对的一个圆周角∠ACB，用硬纸板剪下与这角相等的角样，然后不断变化这顶点C的位置，分别用这角样与各不同位置下的圆周角作比较。为防止认识的片面性，再考察另一段弧■所对的圆周角之间的大小关系，方法同上。

通过以上演示观察，启发学生得出猜想

1：同弧所对的圆周角相等

引导3 上面的猜想告诉我们：任意一弧所对的圆周角都等于同一度量，这个度量是多少呢？是由什么因素所决定的。

让学生通过上面演示中剪下的■与■所对的两个圆周角的硬纸板角样的比较，分析概括得出：较大的弧所对的圆周角较大，较小的弧所对的圆周角较小。从而进一步得出圆周角的度数是由它所对的弧来决定的。

引导4 一条弧所对的圆周角的度数是由它所对的弧决定的，而这条弧的度数又与圆中什么角有直接的关系呢？

有学生脱口而出：寻找一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角是什么关系。

引导5（结合观察演示）一条弧所对的所有圆周角都是相等的，只须找到某一圆周角与这段弧所对的圆心角的关系就行了，在AB所对的所有圆周角中，顶点C运动到什么位置时的圆周角与圆心角∠AOB的关系最明显呢？

通过观察，学生不难发现：可以得出关系：

∠ACB=■∠AOB

继而启发学生归纳猜想

2：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

通过以上的引导，学生不仅发现了定理与推论的结论，更重要的是训练了学生运用了观察、比较、分析、归纳猜想等合理的思维方式参与了探求知识的全过程，学会了运用类比、化归、由特殊到一般、变静止为运动、从归纳到猜想等数学思想方法去研究认识问题。

三、分类转化、证明猜想，培养学生思维的严谨性和灵活性

上面发现推出的结论还只是一种猜想，要证明本定理的正确性，这是本节课的教学难点。如何突破难点并抓住机会向学生渗透分类思想以及在证明过程中所涉及的转化，设计如下步骤：

引导1 猜想2结论的发现是由圆周角在某种特殊位置中观察得出的，猜想正确与否，要有证明。首先我们须分清何为特殊，何为一般？

在模型中演示圆周角的各种位置变化，在变化中观察圆心与圆周角的各种位置特征，从而归纳出划分的各种类型及分类的标准。

引导2 我们对一条弧所对的无数多个圆周角划分了三种类型，因而须对三种情况分别进行证明。首先最特殊的往往是最容易的，所以第一种特殊情况是我们的突破口。在对其它两种一般情况的证明中，是否想到了运用数学思想方法来解决呢？该选用怎样的数学思想方法？

启发学生运用转化并指导如何创造转化的条件，将一般的情况转为第一种特殊的情况来解决。最后引导学生运用本定理回头再考察猜想1的正确性，补充适当内容后作为本定理的一个推论。

四、概括提炼、巩固小结，培养学生揭示学习规律、解决实际问题的能力

如何引导学生对本节学习与探求活动中及数学知识中涉及的数学思想方法加以提炼和概括，设计了如下讨论题：

1.圆周角定理与推论给我们提供了怎样的数量关系，突破这一表面现象，挖掘其实质，你能发现隐含其中的数学思想和方法是什么？

2.在探讨与发现结论的活动中，我们都运用了哪些研究问题的思想和方法，回忆它们的发现过程，有何启发？

3.今天的学习活动由“猜想”得出了定理与推论，可见猜想是获得重大发现的重要途径。我国著名数学家陈景润为攻克“哥德巴赫猜想”献出了毕生精力，留下终身遗憾，对此你有何感想？

在学生对上述问题讨论的基础上，讲解课本中有关例题并配备四个达标训练题（略）。

数学思想方法跟其他基础知识的区别是掌握它是一个循序渐进的过程。需要我们教师真正意识到它是数学的精华，重视数学思想方法的教学，在平时的教学中，结合教材，教法有意识，有目的的逐步渗透与强化，使学生产生认识的飞跃，达到提高素质，培养能力之目的。