基于cY函数的条件弱鞅的最大值不等式①

冯德成， 牛彩莉， 刘红蕊（西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州 730070）

基于cY函数的条件弱鞅的最大值不等式①

冯德成， 牛彩莉， 刘红蕊
（西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州 730070）

利用条件Fubini定理，得到了基于cY函数的条件弱鞅的一些最大值不等式，所得结果推广了已有文献中的相关结论.

条件弱鞅；cY函数；条件Fubini定理；最大值不等式

0　引　言

本文所提到的随机变量都定义在概率空间（Ω，A，P）上.记S0=0，a∨b=max（a，b），EF（X）表示随机变量X的条件数学期望，即EF（X）=E （X|F），这里F是A的一个给定的子σ-代数.I （A）表示集合A的示性函数.

1　预备知识

定义1设｛Sn，n≥1｝是一列L1随机变量，如果对任意j≥1，有

其中f是任意分量不减的函数且使期望有意义，那么称｛Sn，n≥1｝是一个弱鞅（demimartingale）.进而，若f是非负函数，则称｛Sn，n≥1｝是一个弱下鞅（demisubmartingale）.

2010年，Hadjikyriakou［2］引入了下面的概念.

定义2设｛Sn，n≥1｝是一列随机变量，如果对任意1≤i＜j＜∞，有

其中f是任意的分量不减的函数且使条件期望有意义，那么称｛Sn，n≥1｝是给定F下的一个条件弱鞅.（F-demimartingale）.进而，若f是非负函数，则称｛Sn，n≥ 1｝是一个条件弱下鞅（F-demisubmartingale）.

很容易验证，对于任意i≥1，（2）式等价于

对于任意满足E|X|＜∞的随机变量X，从条件期望的性质E（E（X|F））=E（X）可知，定义在概率空间（Ω，A，P）上的条件弱鞅和条件弱下鞅分别是概率空间（Ω，A，P）上的弱鞅和弱下鞅，但是反之并不成立.Hadjikyriakou给出了一个随机变量序列是弱鞅但不是条件弱鞅的例子.

设φ是定义在（0，∞）上的一个右连续减函数，并且满足如下条件：

假定φ在任意一个有限区间（0，x）上关于Lebesgue测度是可积的.若令

则Φ（x）是一个使Φ（0）=0的非负递增凸函数.若进一步假定Φ（∞）=∞，则称Φ（x）是一个cY函数（concave Young function）.

关于cY函数的更多细节和性质，可以参考文献［12，13］.对于任意0＜p＜1，易证函数Φ（x）= xp就是一个cY函数.Agbeko［12］建立了如下的基于cY函数的最大值不等式.

定理1设Φ（x）是一个cY函数，记ζ（x）=Φ（x）-xφ（x），则对于任意非负下鞅（Xn，Fn），有

成立，当且仅当

（iii）如果（4）式成立，那么对于只依赖于Φ的正常量CΦ，有

受Agbeko［3］的启发，Wang等［4］建立了基于cY函数的弱鞅和N-弱鞅的一些最大值不等式.本文在文献［8］的基础上，利用条件Fubini定理，给出了基于cY函数的条件弱鞅的一些最大值不等式.

2　基于cY函数的条件弱鞅的最大值

引理1设｛Sn，n≥1｝是一个条件弱鞅，g（·）是R上的一个不减凸函数，且对任意i≥1，有，那么对于任意几乎处处非负且F-可测的随机变量，有

εPF

推论1设｛Sn，n≥1｝是一个条件弱鞅，g（·）是R上的一个非负不减凸函数，且对任意i≥1，有EFg（Si）＜∞ a.s，那么对于任意几乎处处非负且F-可测的随机变量，有

显然，推论2.1是引理2.1的直接结果.

引理2［14］设X（·，·）：Ω×R→R是关于A× B可测的.假设X（·，·）是非负的或者是关于P×μ可积的，其中μ是Lebesgue测度，则

定理2假设推论1的条件都满足，Φ（x）是一个cY函数.记

那么

（ii）当（1.4）式成立时，对常数a≥0和0＜B＜1，有

（iii）如果（4）式成立，则对于只依赖于Φ的正常量CΦ，有

证明（i）推论1意味着对x＞0，有

对任意x0＞0，将这个不等式在［x0，+∞）上关于d（-φ（x））积分，则由引理2可得

将（8）式左端分部积分并结合ζ（x）的定义，有

综合（8）和（9）两式，有

易见，当x＞0时，函数ζ（x）=Φ（x）-xφ（x）是单调递增的.因此，由（10）式可得

所以

（5）式得证.

（ii）参照定理1中（ii）的证明方法，易证

（iii）结合（5）和（6）两式，很容易得到

综上所述，定理得证.

推论2假设定理2的条件都满足，那么对于任意的0＜p＜1，有

证明令Φ（x）=xp，其中0＜p＜1.易得

于是

又由（5）式可得

对上面不等式进行整理，有

易知当x0=EFg（Sn）时（12）式的右端取得最小值，因此，在（12）式中取x0=EFg（Sn），则有

证毕.

成立，其中Cφ是只依赖于φ的正常量.则

证明推论1意味着对x＞0，有

另一方面，再次利用引理2可得

结合（16）和（17）两式，定理得证.

［1］NEWMAN C M，WRIGHT A L.Associated Random Variables and Martingale Inequalities［J］.Z.Wahrsch.Verw.Geb，1982，59（3）：361-371.

［2］HADJIKYRIAKOU M.Probability and Moment Inequalities for Demimartingales and Associated Random va-riables［D］.Nicosia：Department of Mathematics and Statistics，University of Cyprus，2010.

［3］AGBEKO N K.Concave Function Inequalities for Sub-（sup-）martingales［J］.Ann.Univ.Sci.Budapest.Sect.Math，1986，29：9-17.

［4］ WANG Xue-jun，PRAKASA RAO B L S，HU Shu-he，et al. On Some Maximal Inequalities for Demimartingales and NDemimartingales Based on Concave Young Functions［J］.J. Math.Anal.Appl，2012，396（2）：434-440.

On Some Maximal Inequalities for Conditional Demimartingales Based on Concave Young Functions

FENG De-cheng， NIU Cai-li， LIU Hong-rui
（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

Some maximal inequalities for conditional demimartingales based on concave Young functions were obtained using the conditional Fubini theorem.These results generalized the corresponding results in recent papers.

conditional demimartingale；concave Young function；conditional Fubini theorem；maximal inequality

O211.4

A

1008-1402（2015）06-0807-03

2015-09-28

国家自然科学基金资助项目（11461061）；西北师范大学青年教师科研能力提升计划项目（NWNU-LKQN-11-2）.

冯德成（1972-），男，甘肃武威人，任职于西北师范大学，副教授，博士.