测度微分方程对参数的连续依赖性①

李宝麟， 张元德（.西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州 730070；.西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州 730070）

测度微分方程对参数的连续依赖性①

李宝麟1， 张元德2
（1.西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州 730070；2.西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州 730070）

测度微分方程可以转化为广义常微分方程，通过广义常微分方程对参数的连续依赖性证明测度微分方程解对参数的连续依赖性定理.

广义常微分方程；测度微分方程；Kurzweil积分；连续依赖性

0　引言

文献［1］中，J.Kurzweil在1957年首次提出了广义常微分方程，推广了Riemann积分和Lebesgue积分，广义常微分方程包括多种形式，比如，脉冲滞后泛函微分方程［2］，时间轴上的动力微分方程［3］，测度微分方程［2］等.

在适当的条件下，广义常微分方程解对参数有连续依赖性，这篇文章的主要目的是得到测度微分方程解关于参数的连续依赖性定理.

具有以下形式的方程称为测度微分方程：

其中Dx，Du表示函数x和u的分布导数.f：G→Rn，

g：G→Rn，其中G=B×［a，b］，B是一个开集，令

（C1）f（x，·）在区间［a，b］上Lebesgue可测，且存在一个Lebesgue可测函数m：［a，b］→R使得对（x，s）∈B×［a，b］有＜+∞和‖f（x，s）‖≤m（s）成立.

（C2）存在Lebesgue可测函数l：［a，b］→R使得对所有的（x，s），（y，s）∈B珔×［a，b］有＜+∞和‖f（x，s）-f（y，s）‖≤l（s）ω（‖xy‖）成立.属于C（B×［a，b］，μ，ω）且满足以下条件：

（H1）g（x，·）关于测度μ是可测的，且存在一个u-可测函数m：［a，b］→R使得对所有的（x，s）∈珔B× ［a，b］，有

（H2）存在一个u-可测函数l：［a，b］→R使得对任意的（x，s），（y，s），有成立.其中ω：［0，+∞）→R为连续递增函数且ω（0）=0.

为了方便讨论，和文献［2］中讨论Carathéodory方程［4］有关性质的方法类似，令s）du（s）那么在适当的条件下测度微分方程的解可以和广义常微分方程的解等价（详见引理1.3）.

1　预备知识

定义1.1［5］函数F：［a，b］×［a，b］→Rn在区间［a，b］上称为Kurzweil可积的，如果存在向量I∈Rn，使得对任意的ε＞0，存在正值函数δ：［a，b］→（0，+∞），对［a，b］的任何δ-精细分划D：a=α0＜α1… ＜αk=b及｛τ1，τ2，…，τk｝，有

特别地，当f：［a，b］→Rn且g：［a，b］→R，F（τ， t）=f（τ）g（t）时

定义1.2［2］设函数F：G→Rn，如果F属于函数族F（G，h，ω），则对任意的，有且对任意的∈G有

其中h：［a，b］→R为不减函数，ω：［0，+∞）→R 且ω（0）=0为连续的增函数.

定义1.3［2］设函数x：［a，b］→Rn，若对所有的s∈［a，b］，有

则称x为广义常微分方程

的解.

引理1.1［3］若f：［a，b］→Rn为正则函数，g：［a，b］→R为不减函数，则积分存在.

引理1.2［3］令g：［a，b］→R为不减函数，若函数列使得对k∈ N，存在，假设存在函数m：［a，b］→R使得积分存在且‖fk（t）‖≤m（t），t∈若对任意的=则存在且

引理1.3［2］函数x：［a，b］→Rn称为测度微分方程（1.1）在区间［a，b］上的解当且仅当x是广义常微分方程（3）在区间［a，b］上的解，其中F（x，t）=F1（x，t）+F2（x，t）.

引理1.4［2］假设F：G→Rn满足条件（1），若［α，β］⊂［a，b］且x：［a，b］→Rn是方程（3）的解，则对任意的s1，s2∈［α，β］，不等式成立.其中h：［a，b］→R为不减函数.

且我们假设

引理1.5［2］令F：G→Rn属于函数族F（G， h，ω）且令（，t0）∈G满足条件（2.4）.则存在Δ～，Δ+＞0使得在区间上存在广义常微分方程（3）的解x：［t0-Δ-，t0+Δ+］→Rn满足x（t0）=.

引理1.6［2］若函数使得g，其中μ是有界变差函数u：［a，b］→R给定的Lebesgue-Stieltjes测度，则对

存在不减函数h：［a，b］→R使得不等式

和

引理1.7［2］令函数U：［a，b］×［a，b］→Rn使得U∈K（［a，b］）且c∈［a，b］ .则

引理1.8［3］假设Fk：G→Rn属于函数族F（G，h，ω），k=0，1，…且对（x，t）∈G，有

在区间［α，β］⊂［a，b］上的解且满足

和（x（s），s）∈G，s∈［α，β］.则x：［α，β］→Rn在区间［α，β］上是有界变差的并且是广义常微分方程

在区间［α，β］上的解.

2　测度微分方程解对于参数连续依赖性定理的证明

的唯一解，另外假设存在ρ＞0使得若s∈［a，b］且‖y-x（s）‖ ＜ρ，则（y，s）∈G=珔B×［a，b］，任给一个n维向量yk，k=1，2，…，满足

则对足够大的k∈N，方程

在区间［a，b］上存在解 xk满足 xk（a）=yk和

证明令

再令

又因为

且

所以存在c＞a使得，若t∈［a，c］且

则（x，t）∈G，k＞k1，由引理1.5可得方程（5）存在解使得，由此可知，对t∈［a，c］有

并且可以验证和方程（5）右端函数Fk类似，c ＞a的取值只和函数有关.

根据引理（1.8）和方程（6）解的唯一性假设知，如果函数列xk在区间［a，c］上包含一个逐点收敛的子序列，则对t∈［a，c］，子序列的极限必须是x（t）.再由引理（1.4）知，函数列xk，k＞k1在区间［a，b］上等度有界且一致有界变差，因此序列xk对每个t∈［a，c］都有逐点收敛的子序列xk（t）.

以上证明该结论在区间［a，c］，c＞a上成立，现在假设结论在整个区间［a，b］上不成立，则存在c*∈（a，b）使得对任意的c＜c*，方程（5）的解xk在区间［a，c］上满足xk（a）=yk且对足够大的k∈N有

但是在区间［a，c］，c＞c*上是不成立的.根据引理（1.4）可得

其中k∈N足够大.因此xk（c*-）=x（c*-）= x（c*）的极限存在，又因为解x是左连续的，所以

这意味着该定理在闭区间［a，c*］上成立.类似地，可以证明该结论在闭区间［c*，c*+Δ］，上也成立，其中Δ＞0，这与原假设矛盾，即结论在整个闭区间［a，b］上成立.

［1］J.Kurzweil.Generalized Ordinary Differential Equations and Continuous Dependence on a Parameter［J］.Czechoslovak Math，1957，7（82）：418-448.

［2］Schwabik.Generalized Ordinary Differential Equations［J］. World Scientific，Singapore，1992.

［3］A.Slavík.Dynamic Equations on Time Scales and Generalized Ordinary Differential Equations［J］.Math.Anal.Appl，2012，385：534-550.

［4］M.A.Krasnoselskij，S.G.Krein.On the Averaging Principle in Nonlinear Mechanics［J］.Uspehi mat.nauk 10 no，1955，3：147 -152.

［5］A.Slavík.Generalized Differential Equations：Differentiability of Solutions with respect to Initial Conditions and Parameters［J］. Math.Anal.Appl，2013，402：261-274.

Continuous Dependence on Parameters for Measure Differential Equations

LI Bao-lin1， ZHANG Yuan-de2

（1.College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China；2.College of Mathematics and Statistics，Lanzhou 730070，China）

It is well know that measure differential equations can be treated as generalized ordinary differential equations as introduced by J.Kurzweil.In this paper，continuous dependence theorem on parameters for measure differential equations was established using continuous dependence on parameters for generalized ordinary differential equations

measure differential equations；Kurzweil integral；generalized ordinary differential equations；continuous dependence

O175.12

A

1008-1402（2015）06-0801-03

2015-09-21

国家自然科学基金项目（11061031）.

李宝麟（1963-），男，甘肃天水人，西北师范大学数学与统计学院教授，博士，.研究方向：常微分方程与动力系统.