考虑集肤效应与邻近效应的变压器谐波损耗模型

刘书铭，施 红，冯 蕾

（1.国网河南省电力公司电力科学研究院，河南 郑州 450052；2.河南省电力勘测设计院，河南 郑州 450052）

0 引言

电力变压器的运行不仅受电网谐波影响，由于铁芯的非线性，其本身也是电力系统中最主要的谐波源之一。流经变压器的谐波电流会使得变压器温度升高、总损耗增加，不但会造成变压器绝缘的损坏，还会导致变压器负载容量下降，影响其安全稳定运行。由于变压器有效使用时间较长，即使非常小的损耗，年耗电能也非常巨大。据统计[1]，变压器的总损耗约占总发电量的8%，而其中大部分是变压器的谐波损耗。据日本某公司报道，当变压器中谐波电流达到额定电流的10%时，变压器的损耗比额定损耗大10%[2]。可见，深入研究变压器的谐波损耗，不仅对变压器经济运行、节能降损有重要意义，还可为变压器优化设计提供理论和数据支持。

国外对变压器的非线性模型研究可以追溯到20世纪80年代，主要侧重于单相变压器铁芯的非线性特性[3]。我国对于变压器建模的研究主要针对变压器绕组的各种电磁现象[4-6]，对变压器的谐波损耗模型的研究较少，主要采用IEEE常规的变压器模型或国际大电网会议（CIGRE）建议的等值模型。这些模型并没有对谐波环境下变压器绕组的电阻参数进行处理或者处理不够完善，往往采用直流电阻代替交流电阻的方法。这种简化处理在进行只含有基波的电路计算时影响不大，但在谐波情况下，由于集肤效应和邻近效应的影响，不同频率下变压器绕组的等效电阻比直流电阻要大很多，使得计算模型不精确。

本文基于Maxwell电磁场理论，以变压器绕组层为单位进行电磁场分析，引入交流绕组系数，利用坡印亭矢量法从能量的角度对变压器绕组的损耗进行分析，叠加得出绕组的谐波损耗表达式，并且通过仿真和物理试验相结合的方式，验证了所建变压器模型的适用性。该方法与以往直接采用傅里叶分解进行功率叠加的方法相比，从电磁场角度分析了交流场中绕组的集肤效应以及邻近效应对绕组电阻的影响，准确度更高，满足工程应用的需求。

1 变压器建模方法及谐波模型比对

目前，变压器的谐波模型主要有时域模型、频域模型、时域频域混合模型以及数值模型。

时域模型主要通过曲线拟合的方法[7-9]将变压器的B-H回线拟合成一组分段函数进行建模，但必须保证用来拟合的函数在整个B-H平面定义域里连续，且磁滞回线会因为最大磁化强度的改变而改变，存在一定的难度。

频域模型利用并联的谐波电流源模拟涡流、磁滞以及变压器铁芯饱和的非线性特性[10-12]，该方法只考虑有限次数的谐波，精度并不高。

时域频域混合模型利用两者的优点，利用频域方法模拟谐波在变压器一、二次侧的传播，利用时域方法模拟铁芯的非线性，实现静态解法，并且获得可接受的精度与计算速度[13-14]。这类模型多用于变压器稳态的分析，需要进行快速傅里叶变换。

数值模型基于非均质电力变压器的二维或三维建模技术，将铁芯分为小的网孔或者体积元素，通过约束条件将网孔方程联系起来，利用矩阵法求解[15]。该方法需要变压器结构、材料等详细信息，耗时冗长，在工程中的应用并不广泛。

目前，主流的电力系统仿真分析软件主要采用以下3种变压器谐波模型。

a.常规变压器模型。

电力系统分析综合程序PSASP和IEEE都采用常规变压器模型。该模型计算公式为：

其中，h为谐波次数；RT1为基波变压器的绕组损耗；XT1为基波变压器的相应序电抗。

b.CIGRE变压器模型。

变压器的等值电路如图1所示，其计算公式为：

其中，UN、SN分别为变压器的额定电压和额定容量；FRS、FRP为CIGRE模型相关系数。

图1 变压器等值电路Fig.1 Equivalent circuit of transformer

c.PSAF变压器模型。

该模型认为固定分接头变压器、移相变压器、无功控制变压器和电压控制变压器均相同，由带阻抗的理想变压器来模拟，阻抗由电阻R和电感L决定，且假设励磁支路为高阻抗支路。

另外，ANSOFT分析软件从电磁场的角度利用有限元分析法[16-17]对变压器进行建模分析，主要研究变压器励磁磁场和漏磁场的分布。对于变压器损耗，主要考虑了涡流损耗、磁滞损耗和附加铁耗对变压器铁芯损耗的影响[18]。

上述模型均忽视了变压器绕组电阻的影响，而变压器损耗中，铜损比例远远大于铁损，其精度要求也更高。为了准确计算变压器的铜损，需要综合考虑集肤效应和邻近效应对绕组电阻的影响。

2 变压器绕组谐波损耗分析

2.1 变压器绕组损耗模型建立

变压器绕组通过交流电流时，若需准确计算变压器的损耗，以绕组一层的导线作为一个整体进行分析，可以兼顾集肤效应和邻近效应。设变压器绕组半径方向为r，轴线方向为k，电流流通方向为φ，建立坐标系，如图2所示。 ik、iφ、ir分别为方向 k、φ、r的电流，H-、H+分别为绕组中某一层绕组内外两侧的磁场强度，假设绕组内部的圆导线中流过的电流为i（t）=Iejωt，导线的电场强度 E（φ 方向）以及磁场强度H（k方向）在柱坐标中满足关系：

图2 变压器圆柱形绕组Fig.2 Cylindrical winding of transformer

其中，γ、μ分别为铜导线的电导率和磁导率；ω为角频率。

由于磁场强度和电场强度均为绕组上任意一点距绕组轴线距离r的函数，经整理，解贝塞尔函数方程得到：

其中，J0、J1为第一类贝塞尔函数；K0、K1为第二类贝塞尔函数；；系数c1、c2由边界条件决定。

对某一层绕组而言，由于电场强度E和磁场强度H正交，单位时间内穿过单位面积的能量通量由坡印亭矢量表示为 E（r）×H（r），从能量损耗的角度出发，其注入第n层绕组单位长度的能量为：

其中，W为绕组宽度；N为每层绕组所包含的线圈匝数；dn为第n层绕组厚度；rn为第n层绕组与绕组轴线间的距离。利用泰勒展开式对式（9）进行化简，可得第n层绕组的损耗为：

2.2 变压器绕组谐波损耗计算

假设图2中绕组通入大小为I的直流电流，第n层绕组单位长度损耗功率为：

引入交流电阻系数Fhr表征同一绕组分别通入有效值相等的第h次谐波交流电流和直流电流时，绕组交流电阻与直流电阻的比值，即：

代入式（10）、（11），可得在第 h 次谐波条件下，绕组的交流电阻系数：

其中，a 为绕组层数；Kh=d1／δhK，K 仅用于简化公式，无实际意义为第h次谐波的集肤深度。用级数代替三角函数进行简化，最终得到交流电阻系数为：

则绕组的谐波频域模型为：

因此，变压器绕组谐波损耗为：

当知道各次谐波电流含有量HIh时，可以估算谐波下铜耗是基波下铜耗P1Cu的倍数，即：

图3 交流电阻与直流电阻随谐波次数的变化Fig.3 Variation of AC resistance and DC resistance with harmonic order

可知，在谐波次数较低时，邻近效应和集肤效应对交流绕组影响比较小，而当谐波次数大于23次时，两者数值相差非常大。

3 变压器谐波损耗仿真分析

根据建立的变压器绕组模型、铁芯非线性模型以及相应的电路磁路方程，构造完整的变压器谐波损耗模型如图4所示。本文所建立的变压器模型为采用△-Y型接法的三相三芯柱变压器模型。

为了图形清晰，图4并未画出所有的互感参数。变压器内部第h次谐波各电气量之间的关系如式（18）所示。

其中，Uph、Ush分别为三相变压器一、二次侧电压；Eph、Esh分别为变压器一、二次侧感应电动势；Zph、Zsh分别为变压器一、二次侧自感抗，计及了交流电阻系统的影响；Zmh为变压器线圈之间的互感抗。

图4 三相变压器谐波损耗模型Fig.4 Harmonic loss model of three-phase transformer

由于变压器绕组支路的计算是在频域中进行，而励磁支路是在时域中完成的，因此需要应用到迭代计算。本文设计了损耗计算的迭代流程图见图5。

图5 谐波损耗计算迭代流程图Fig.5 Flowchart of iterative harmonic loss calculation

通过图5的迭代计算，即可求得变压器的损耗。为了验证本文所建立三相变压器非线性模型的合理性，在相同条件下，与Simulink自带仿真模型进行比较。仿真时，变压器一次侧所接电压源的基波、5次谐波和11次谐波的有效值分别为10 kV、0.4 kV和0.34 kV，变压器计及磁滞效应，二次侧接含有谐波的额定负载。

通过仿真对比，所得2种变压器模型的励磁电流、二次侧电压、二次侧电流波形如图6所示。仿真结果如表1所示。

从图6、表1可以看出，三相变压器谐波模型与Simulink自带模型的仿真结果相比，励磁电流波形具有相似形式，但两者幅值与相位存在着一定的差异，主要原因在于Simulink自带的半经验磁滞回线和三相变压器谐波模型中应用的J-A磁滞回线存在差异，并且2种模型在仿真时计算的初相位不同。2种模型所得二次侧电压以及电流差别不大，但由于在绕组电阻的处理上存在差异，导致谐波含量有一定差别。2种模型最大的差异在于损耗的计算，Simulink自带模型并没有考虑集肤效应和邻近效应的影响，高次谐波的损耗存在较大误差。

图6 2种模型仿真结果对比Fig.6 Comparison of simulation results between two models

表1 2种模型仿真结果对比Table 1 Comparison of simulation results between two models

4 变压器谐波损耗试验

4.1 电能质量综合试验平台

为了有效开展变压器的谐波损耗试验研究，本文基于国家电网公司电力谐波特性分析评估技术实验室建成的电能质量综合试验研究平台进行。该平台额定电压10 kV、容量1500 kV·A，可以模拟输出实际电网各类常见的电能质量现象，如电压／电流谐波、电压暂升／暂降、电压波动与闪变、三相不平衡等，为开展电力设备测试和设备性能评价提供了一种新的手段。

平台主电路采用了多绕组变压器+全控型变流器+级联型多电平变流器的结构，由14个功率单元级联构成。基本模块采用单相H桥结构，均采用全控型器件，整流侧采用PWM整流，逆变侧采用级联型多电平结构，采用单极性倍频CPS-SPWM的调制策略。其主电路结构如图7所示。

试验的目的是对谐波条件下的变压器损耗进行实际测量，得出变压器谐波损耗的变化趋势，对理论分析和仿真结果进行实际物理验证。试验的主要内容为谐波条件下的空载试验和负载试验。空载试验时，变压器一次侧开路，二次侧施加基波与谐波电压。负载试验时，10 kV扰动源工作在电流模式，经降压变压器接至被试变压器二次侧，变压器一次侧接10 kV电网。此时扰动平台模拟谐波负载通过被试变压器并网，试验接线原理图如图8所示。

4.2 谐波损耗试验及数据分析

图7 试验平台主电路结构Fig.7 Main circuit structure of test platform

图8 变压器负载试验接线图Fig.8 Wiring diagram of transformer load test

试验通过分别测量不同谐波次数、不同谐波电压含有率情况下三相变压器铁耗以及不同谐波次数、不同谐波电流大小情况下变压器的铜耗，拟合出谐波损耗和谐波含有率、谐波次数的关系。空载试验时变压器二次侧基波电压400 V，分别叠加5、7、11、13、17、19、23次谐波电压，谐波含有率从1% 增加到15%。负载试验时，变压器一次侧接入额定基波电压，二次侧施加5 A的基波电流，同时分别叠加5、7、11、13、17、19、23 次谐波电流，谐波电流从 1 A 逐渐增大到4 A。某时刻负载谐波电流如图9所示，试验数据分别如图10、表2所示。

图9 负载试验时的三相谐波电流Fig.9 Three-phase harmonic currents of load test

由图10、表2可以看出，理论计算与实际试验获得的变压器谐波损耗曲线的趋势基本一致。变压器空载试验时，励磁电流本身带有比较大的5、7、11次谐波，存在一定电流畸变，空载损耗试验数据与仿真数据差异明显。从实测的铜耗随谐波次数上升的趋势可以看出，本文用交流电阻系数处理绕组电阻是正确的；而简单地用表征谐波对绕组电阻的影响是不准确的，会使得误差随着谐波次数增大而增大。在谐波电压和谐波电流含量相同时，谐波铜耗占的比例远大于谐波铁耗，因此限制变压器谐波电流大小和次数对于减小变压器总谐波损耗具有重要意义。

图10 变压器谐波损耗变化趋势Fig.10 Variation of transformer harmonic loss

表2 变压器谐波损耗试验结果Table 2 Results of transformer harmonic loss test

5 结论

目前，变压器的铁耗和铜耗主要通过实验方法测得。在变压器设计时，其铁耗和铜耗主要依据经验公式计算得到，变压器损耗模型尚不精确，谐波背景下变压器的相关研究更是缺乏。本文以变压器绕组层为研究单位，从电磁场角度分析了交流场中绕组的集肤效应以及邻近效应对绕组电阻的影响，从损耗机理出发研究谐波背景下变压器损耗的计算方法，建立了变压器谐波损耗分析模型，并对实际变压器进行了谐波损耗定量计算。本文的研究有助于指导谐波背景下变压器相关计算分析工作，也可为变压器优化设计、安全运行等提供理论和数据支持。