探究利贝克的儿童数学概念的形成过程

赵红玲

英国数学教育专家帕梅拉·利贝克于1984年写了《儿童怎样学习数学：父母和教师指南》一书。她认为数学是对现实的一种抽象，数学抽象的过程一般分为四个阶段：体验—语言—图画—符号。这四个基本环节是学生学习数学的基本过程，也是儿童学习数学的基本认知程序。其中，体验是对有形物体的体验，通过自己的活动或接触客观事物产生的综合感觉；语言是表达这种体验的口头描述，是儿童用语言对体验的刻画；图画是体验表象在人脑中的反映，是体验的形象表达，它能帮助儿童理解数学概念，为进一步概括做准备；符号是经过一定的抽象概括使儿童认识并写出代表概念的书面符号，是更加抽象的表达。

例如，“球”概念的形成过程：

体验——看到球，感受颜色，摸球，把球放在手里，拍球，滚球，踢球等活动体验了球的许多属性。

语言——球的发音与“球”联系起来，红球、白球、黑球等。

图画——首先认出球的图画，图画虽然不能滚动，摸着也不一样，但是图画和自己体验的球有共同点，然后画出球的图画（需要有球的直观来帮助理解）。

符号——认识并写出“球”的文字（完全脱离球的实体进行抽象表达）。

这四个过程是学生从实物直观到抽象表达的必经阶段，其中体验是对概念的初始感知阶段，语言是概念形成的发生阶段，图画是概念形成的发展阶段，符号是概念形成的稳定阶段。儿童在体验活动中发现事物的共同或不同属性，挑选一些共同属性自发形成概念。合适的体验能加速学生对事物的感知，然后用合适的语言来表达。反复活动能澄清一些感知中的乱象，保留有效信息特征，如对物体长度、形状大小的认识，以及从二维的平面图形到三维的立体图形的认识都需要足够的实践活动。

语言是对体验结果的抽象表达，在活动中对实物的描述是客观对象在内心的具体反映，如用数词和几个物体相对应并用语言表达出来是认识事物的心智活动体现。实际上，在儿童没有对数字意义的理解之前一般都会先进行数数练习。比如从1数到100，然后再进行个数与数字的对照理解，通过做游戏或其他方式强化小数字的练习，达到儿童一眼就能说出物体个数的情形，这样就完全理解了数字的实际意义。

图画是活动对象在人脑中的再现，是离开实物本身来表达实物的一种方法。用图画来表示活动过程、内容，或用图画表达抽象的数目，同样能起到感受直观的效果，从图像中直接感受事物的大小关系、颜色差别、数量不同，甚至对图形间的关系进行直观推理或用不同的标准对实物图形进行鉴别。同时，儿童绘画也训练了儿童识记图画及动手画图能力，有时用语言文字表达事物间的关系后再用图画来表示一些信息更为直观。

符号是熟悉客观对象后的一种高度综合的抽象概括表示，是一种约定的记号形式。数学符号是数学一个很重要的组成部分，它把一个“概念”浓缩成“便于处理”的形式，如十进制计数法、加减法算式等，总之，数学从某种意义上说是一种符号运算的学科。

下面通过几个例子说明儿童数学概念形成的基本过程。

“长度”概念。在学习长度概念时，首先让儿童理解长度单位的意义，然后用直尺去测量一下身边物体的长度，如书桌的长、宽、高，这些直边的测量有助于儿童形成尺度常识，如半米有多长，一米有多长，一公分有多长，十公分是多长，甚至可以目测小数字长度（当然不能是太小的尺寸）。对长度单位概念的理解，可采用不同的长度单位去度量同一个物体的长度，如可用儿童自己张开的手指宽度作为长度单位去度量桌子的宽度，要是儿童理解单位长度只是一个度量长度的参照标准，单位长度不同，同一个长度会有不同的数值，并及时告诉儿童大家公认的、经常使用的长度单位是什么。然后引导儿童对长度概念进行更广泛的理解，由测量直边的尺寸，逐渐过渡到弯曲物体“弯的”长度，可先用细绳子贴着弯曲的边，然后将细绳在直尺上去比对，就得出弯曲的边的尺寸。除此之外还要拓展一下儿童的视野，如测量特别长和特别短的长度时，单位长度的选择特别重要，像测量宇宙中的空间距离时，常用光年作为长度单位去度量，而测量很小的空间距离时，常用纳米作为长度单位去度量。

因为儿童的思维不能完全摆脱具体的活动情境，所以测量长度可以帮助儿童对物体的形状有更细致的理解。如物体的大小、长度和高低以及物体间的相互关系（如全等），以及物体内部各要素之间的关系（如长方形的长与宽，正方形各边关系，三角形各边之间的关系）。同时还要要求儿童能用直尺画出简单的图形，动手去做一做、剪一剪，在具体的学习方法下认识几何图形的几何特点。

“基数、序数”概念。当儿童对一堆东西进行数数活动时，容易出的问题是多算或少算，那就要提醒儿童物体排列的顺序或按照某种特征进行分类排序才不会出错。另外，让学生理解基数与序数的意义差别，序数相当于给物体一一编号，带上标签，便于区分，而基数则相当于考虑一堆东西的整体数目，两者意义绝不相同。

“比多少”“加减法”与“分开”的概念。“比多少”是一个抽象的数学概念，儿童在开始比较时，一般是依赖图画、情境比较两类物体的多少。也可以让学生根据两类物体的多少画出两类不同数目的图形，这样就自然形成了“比多少”的概念，但这必须在儿童形成稳定的小数目概念之后才有效。加减法是在“比多少，多多少，少多少”的基础上进行思维角度的改变，在书写算式时，有数字与抽象符号“+”“-”“=”的共同组合，所以烘托某种情境氛围，使学生增加关注的力度去理解加减法的运算很重要。如：“树上有3只鸟，又飞来2只，问树上有几只鸟”或“树上有5只鸟，飞走了3只，问树上有几只鸟”，最后让儿童大声阅读自己列出来的数学式子。

把一堆物体分成几个小组，分法有好多，例如5=3+2，5=4+1，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+3，反过来进行逆向思维，让分的几组再进行“合成一组”，这样有收有放，可开发儿童的逆向思维，让儿童有更多的思维成分在活动中。这样最终使儿童明白，其实加法、比多少，减法、分开这几种算式在数学上只是同一件事的不同表达形式而已。

“图形”概念。儿童在观察、触摸、拼接、折叠、组合、拆分等摆弄各种玩具时就对空间物体进行着了解，甚至很感兴趣。在这种活动中，对平面图形的平的、直的、弯的、边、角、面以及长方形、正方形、三角形、圆等基本平面图形的概念以及长方体、正方体、圆柱体、球体等立体图形概念有了明确的区分，而且在成人的引导下能用语言表达。儿童能从一堆几何图形中找出某一个或者一类图形，用不同形状的图形拼接成一个机器人或鸟之类的图画，说明儿童对于一些图形的形状和性质是有一定感知的。

几何图形中的“比多少”是要训练儿童的眼睛识别能力及直觉思维能力的活动体验，如“这个三角形比那个三角形要大一些”，“这根小棍是四根中最长的”，并可以通过实物比照去验证自己的感觉是否正确。

“容积”“质量”“时间”概念。长度不同的物体，可用眼睛去观察其长短的不同，或直接去比对，看到底哪个更长一点，但不同容器内所装液体的多少则不容易用眼睛直接去目测出正确的结果。因为当容器的形状不同时，液体形状会随着容器形状的改变而变化，所以比较容积时就会产生错觉。这种错觉来源于儿童对容积形状的大小附加在容器的大小上面。解决的办法只能是让儿童亲自在活动中体验，去获得一定的生活经验。首先让儿童体验一样多的溶液倒进相同的杯子中，其容积是相同的，然后将几个小杯子里的液体倒进大杯子中，体会大杯子装的液体比小杯子多的事实，最后是确定容积的单位（比如一个小杯子），可以去度量大杯子的容量，或者不规则容器的容量是多少（大杯子的容量尽量是小杯子的整数倍），甚至可以将实验作为训练加减法的实验模型。

儿童对质量的感觉来自于自身的体验，起初可让儿童两只手同时拿起两个小物体，感觉一下谁重谁轻，然后在天平上检验。让儿童理解质量的实物单位也是必不可少的，可以选择已知重量的小物体作为实物单位，然后在天平上度量其他物体的质量。在比较物体轻重时仍会受到视觉上的干扰，正如一个儿童会感觉“一团棉花比一小块石头要重一些”，体验活动须使儿童认识到物体的质量与其形状大小无关，区分物体的大小和其轻重不是一个概念，这很重要。

时间不同于长度、容积及质量概念，因为它看不见摸不着，所以要让一个儿童知道时间是如何逝去的，或者说做一件事需要多长时间是可以测量的。首先选择测量时间的工具必须是看得见的摸得着的，测量很短时间的工具可以是节拍器或是摇晃的单摆，能听到秒针走动声音的钟表更好。根据滴答声来数一下做一件事用的时间，比较做两件事用的时间的长短不同，体会用秒去度量时间，然后理解用更大的时间单位去测量时间，如分钟、小时、星期、月、年、世纪等。

总之，在儿童的数学概念形成发展阶段，大量的体验活动起着十分关键的作用。在活动中配合语言、图画以及抽象的符号，最后能使儿童对数学概念有一个自然过渡的认识过程，这样形成的概念将成为儿童认识世界的一种常识，而不是强加于他们心灵上的那些死记硬背的任务的完成，在整个过程中尽可能地避免较难的逻辑推理和抽象思维，否则会使儿童失去能一直接受下去的兴趣，如果那样，对儿童的后期学习将是百害而无一利。