非奇异M矩阵Hadamard积的特征值界的新序列*

蒋建新，李艳艳(文山学院数理系，云南文山663000)

非奇异M矩阵Hadamard积的特征值界的新序列*

蒋建新，李艳艳
(文山学院数理系，云南文山663000)

利用非奇异M矩阵A的逆矩阵A－1元素单调的上下界序列和改进的圆盘定理，得到了M矩阵B与A－1的Hadamard积以及最小特征值下界单调递减的新估计式.

M矩阵;Hadamard积;最小特征值;下界

关于非奇异M矩阵A的逆矩阵A－1与M矩阵B的Hadamard积的最小特征值下界的研究，已得到许多估计式［1－6］.但这些估计式有些涉及矩阵的特征值，有些涉及A－1的元素，有些又涉及A的谱半径，当矩阵阶数较大时计算比较困难.此处利用非奇异M矩阵A的逆矩阵A－1元素单调的上下界序列和改进的圆盘定理，得到了下界单调递减的一系列新估计式.这些估计式只与矩阵的元素有关，当迭代次数较高时，几乎可以逼近真值.

1　预备知识

首先引入一些记号:

其次，给出一些定义和引理.

定义1［1］设，如果则称A为Z矩阵.

定义2［1］设为Z矩阵，若A可表示为，其中，则称A为M矩阵，当α＞ρ(P)时，称A为非奇异M矩阵，非奇异M矩阵的集合用Mn表示.

定义3［1］σ(A)={λ1，λ2，…，λn}表示矩阵A=(aij)∈Cn×n的n个特征值λ1，λ2，…，λn组成的集合，称为A的谱，A的最小特征值记作τ(A)=min{Re(λ):λ∈σ(A)}.

定义4［1］设称为A和B的Hadamard积.

引理1［1］若A=(aij)∈Rn×n是M矩阵，则存在正对角矩阵D，使D－1AD是严格对角占优矩阵，也是M矩阵.

引理2［1］设A，B，C，D∈Rn×n，其中C，D是对角矩阵，则

引理3［2］设A=(aij)∈Cn×n，x1，x2，…，xn是一组正实数，则A的所有特征值包含在复平面C的如下区域中:

引理4［3］设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优的M矩阵，则i，j∈N，j≠i，t=1，2，…，有式(1)(2)成立:

引理5［3］设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优M矩阵，则A－1=(βij)存在且有下列不等式(3)成立:

2　主要结果

又因为

则有

化简整理得

2)若A，B有一个可约，类似文献［5］中定理2.2.2的证明知此时定理1也成立.

3　数值例子

假设

此例进一步说明了所得结果的有效性.

［1］陈景良，陈向晖.特殊矩阵［M］.北京:清华大学出版社，2000

［2］王德凤.矩阵Hadamard积与Fan积的最小特征值与谱半径界的估计［D］.昆明:云南大学，2011

［3］赵建兴.M-矩阵最小特征值估计及其相关问题研究［D］.昆明:云南大学，2014

The New Sequence of the Eigenvalue Bounds of the Hadamard Product of Nonsingular Matrix

JIANG Jian-xin，LIYan-yan
(Department of Mathematics and Physics，Wenshan University，Wenshan 663000，China)

By using the upper and lower bounds on themonotone sequence for inversematrix A－1elements of nonsingular M matrix A and improved disk theorem ofmatrix，this paper obtains the new estimator of theminimum eigenvalue bounds decreasingmonotonically of Hadamard product of M matrix B and A－1.

matrix;Hadamard product;minimum eigenvalue;lower bound

O151.2

A

1672－058X(2015)09－0020－03

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.005

2015－03－13;

2015－04－02.

云南省教育厅科学研究基金项目(2013Y585);文山学院重点学科数学建设项目(12WSXK01).

蒋建新(1981-)，男，讲师，硕士，从事矩阵理论及其应用研究.