三角函数的历史与解题技巧

徐赢+赵宇

摘 要：主要介绍了三角函数的起源、发展和最终定义的形成。三角函数的演变经历了无数杰出数学家的不断努力，每一步的发展都是智慧的创新。在了解三角函数发展历史的基础上，会更好地理解三角函数。三角函数是高考必考内容，着重介绍了函数的解题思路和技巧。

关键词：数学教学；三角函数；解题技巧

在数学中，三角函数是一种常见的关于角度的函数。三角函数是将角度作为自变量，而角度对应任意两边的比值作为因变量的函数。三角函数可以将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以相应的用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。在研究三角形和圆等几何形状的性质时，三角函数发挥着重要作用，同时它也是研究周期性现象的基础数学工具。高中常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

对于三角函数的研究最早可以追溯到人类文明的较早阶段。在公元前2世纪，古希腊三角术的奠基人喜帕恰斯按照古巴比伦人的做法，将一个圆周分为360等份（即将圆周的弧度视为360度，与目前通用的弧度制有所不同）。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法与目前使用的正弦函数是相同的，喜帕恰斯也给出了最早的三角函数数值表。古希腊的三角学基本是球面三角学，这是由于古希腊人研究的主体是天文学，三角学仅作为辅助工具。梅涅劳斯在《球面学》书中通过采用正弦函数来描述球面的梅涅劳斯定理。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》中计算了36度角和72度角的正弦值，同时还给出了计算和（差）公式和半角公式的方法，此外他给出了自0到180度区间内的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。

自从古希腊文化传播到古印度后，古印度人对三角术开展了进一步研究。到了公元5世纪末，数学家阿耶波多提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦，和现代的正弦定义相同，这个做法被后来的古印度数学家使用。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔3.75度的三角函数值表。但是古印度的数学仅停留在计算方面，未有系统的定义和演绎的证明。再之后的阿拉伯人又延续采用了古印度人的正弦定义，同时直接继承了古希腊的三角学。之后，阿拉伯天文学家引入正切和余切、正割和余割的概念，并计算了间隔10分的正弦和正切数值表。到了公元14世纪，阿拉伯人将三角计算代数化，这为三角学从天文学中独立出来，成为应用范围更广的学科奠定了基础。

15世纪，阿拉伯与欧洲之间交流逐渐增多，阿拉伯数学文化在这样的形势下开始传入欧洲。在翻译阿拉伯数学著作的同时，欧洲数学家开始制作更详细精确的三角函数值表。哥白尼的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯制作了间隔10秒的正弦表，其精确值可以达到9位。此外，瑞提克斯修改了正弦的定义，原来称弧对应的弦长是正弦，瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后，数学家开始将古希腊有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。自18世纪，随着解析几何等分析学工具的引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。

三角函数在现代文明中地位非常重要，是科研研究工作中不可缺少的数学工具，在日常的生产生活中同样有相当的应用。同时，对于三角函数在圆与线段间关系和三角形内角与边长关系的研究和各类计算练习可以有效地帮助青少年锻炼数学思维能力和图形分析能力，是高中必修四的主要内容，是高考对学生思维能力和分析能力考查的手段。考查的重点主要是三角函数的诱导公式、两角和差公式、正余弦定理、辅助角公式，出题频率最多的类型题主要是辅助角公式的应用，即函数y=Asin（ωx+φ）。例如：

解决函数y=Asin（ωx+φ）相关问题，需要将ωx+φ当作整体，类比函数y=sinx的性质。

学习数学不仅要知道数学公式，会用数学公式解题，还要了解数学的发展历史，数学家的奋斗故事，这样的学习才是有滋有味的学习，而不是枯燥、机械地做题。数学学科是其他理工学科的基础，在日常的生活中有着广泛的应用，虽然我们摸不到、看不到，但是它一直在为我们的生活更加便利、更加幸福起着重要的作用。希望有更多的人喜欢数学、研究数学，从而发展数学。

编辑 韩 晓