例谈合情推理和演绎推理的关系

王芳

《义务教育数学课程标准》指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰的表达自己的想法。”那么，推理包括哪几种形式？它们又有什么样的联系？

推理是数学的基本思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成；合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。现举两个例子说明一下。

例1.（八年级下册16.1二次根式）探究：根据算术平方根的意义填空：

说明：这段教学过程的设计，就是通过学生的自主学习活动，引导学生通过计算、归纳、类比等活动发现规律，猜测结论。这个过程就是一段发展学生合情推理能力的过程。随着学习的深入，还应该通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认。

例2.命题证明：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。

说明：通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。

教学中可以参考安排如下的过程：

（1）发现结论。在透明纸上画出如图1：设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点。让学生操作：沿直线OP将图形对折，启发学生交流。学生可以发现：PA=PB，∠APO=∠BPO。

图1 图2

说明：这是通过实例发现图形性质的过程，启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定理的结论。

（2）证明结论的正确性。如图2，连接OA和OB。因为PA和PB是⊙O的切线，所以∠PAO=∠PBO=90°，即△POA和△POB均为直角三角形。又因为OA=OB和OP=OP，所以△POA和△POB全等。于是有PA=PB，∠APO=∠BPO。

这是通过演绎推理证明图形性质的过程。由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。

说明：证明命题时，应要求证明过程及其表述符合逻辑，清晰而有条理。此外，还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，发展学生思维的广阔性和灵活性。

通过观察、归纳、推断得到数学猜想，体验数学充满探索性和创造性，得出有理数加法法则并运用法则进行计算，训练学生独立分析问题的能力及口头表达能力。

教学过程可以这样设计：

运用法则计算，进行演绎推理。

计算：（1）（+4）+（+6）=+（4+6）=+10

（2）（+15）+（-17）=-（17-15）=-2

（3）（-39）+（-21）=-（39+21）=-60

（4）（-6）+0=-6

说明：本教学过程中，前面是通过学生的实际经验，凭借自己的经验，归纳得出加法法则。这就是合情推理的过程。后面做每一道题目时，都让学生经历观察、判断、运用法则的过程，使学生在计算时总是从确定的法则出发进行演绎推理。

总之，推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理能力的形成和提高是一个长期的、循序渐进的过程，义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。

编辑 韩 晓