怎样巧用第一类换元积分公式

史鹏军

摘 要： 本文通过深入解析第一类换元积分公式，给出了巧用第一类换元积分公式快速计算不定积分的方法，该方法还可以判断一个不定积分能否直接利用该公式进行计算，大大提高了解题效率.

关键词： 第一类换元积分公式 复合函数 不定积分

不定积分是高等数学的核心内容之一，直接积分法、换元积分法、分部积分法是计算不定积分的基本方法，第一类换元积分法（也称为凑微分法）是最基础的，也是应用最广泛的积分方法，因此，熟练掌握第一类换元积分法是后继学习第二类换元积分法和分部积分法的基石.笔者就怎样巧用第一类换元积分公式快速计算不定积分谈谈自己的认识和体会，供初学者借鉴.

1.深入解析第一类换元积分公式.

设函数f（u）具有原函数，u=φ（x）可导，则有换元积分公式[1]

？蘩f[？准（x）]？准′（x）dx=？蘩f[？准（x）]d？准（x）=[？蘩f（u）du]■.

（1）题设中的条件，函数f（u）具有原函数，即f（u）可积，其实f（u）一定是基本积分公式表中某一类型的函数.

（2）由？蘩f[？准（x）]d？准（x）可以看出，被积函数无论多么复杂，也只能看做二重复合函数的积分.

（3）若不定积分？蘩g（x）dx可以用此公式计算，则一定可化成？蘩g（x）dx=k？蘩f[？准（x）]d？准（x）（k是非零常数）的形式.

2.将基本积分公式表中的变量x全部换成一般的初等函数？准（x），得到下列广义基本积分公式表.下面只列举一部分.

①？蘩x■dx=■x■+c（u≠-1）→？蘩？准（x）■d？准（x）=■？准（x）■+C（u≠-1）；

②？蘩■dx=ln|x|+C→？蘩■d？准（x）==ln|？准（x）|+C；

③？蘩a■dx=■+C→？蘩a■d？准（x）=■+C；

④？蘩e■dx=e■+C→？蘩e■d？准（x）=e■+C；

⑤？蘩cosxdx=sinx+C→？蘩cos？准（x）d？准（x）=sin？准（x）+C；

⑥？蘩■dx=arctanx+C→？蘩■d？准（x）=arctam？准（x）+C；

3.怎样巧用第一类换元积分公式计算不定积分？蘩g（x）dx？

（1）分析被积函数g（x）的结构特点，根据基本积分公式表中被积函数的类型，确定复合函数f[？准（x）]，将g（x）化成g（x）=h（x）f[？准（x）]；

（2）直接计算d？准（x）=t（x）dx，比较t（x）和h（x）得到常数k，k=■，于是得到？蘩g（x）dx=k？蘩f[？准（x）]d？准（x）；

（3）利用广义基本积分公式表直接写出结果.

注：第（2）步如果将t（x）和h（x）作比较，得到的不是常数k，而是关于x的函数，此时不能直接用第一类换元积分公式计算，需要对被积函数g（x）先做恒等变形，然后作分析.

4.举例说明.

例1：计算？蘩xe■dx.

解：被积函数直接就是h（x）f[？准（x）]的形式，直接计算d（x■）=2xdx，比较2x和x得常数k=■=■，于是有广义基本积分公式④得：

？蘩xe■dx=■？蘩e■d（x■）=■e■+C.

例2：计算？蘩（1+2x）■dx.

解：被积函数直接就是h（x）f[？准（x）]的形式，h（x）=1，？准（x）=1+2x，d？准（x）=2dx，比较得k=■，于是有广义基本积分公式①得：

？蘩（1+2x）■dx=■？蘩f（1+2x）■d（1+2x）=■·■（1+2x）■+C=■（1+2x）■+C.

例3：计算？蘩■dx.

解：？蘩■dx=？蘩■■dx，h（x）=■，d（■）=■dx，比较得k=1，于是？蘩■dx=？蘩■d（■）=arcsin■+C.

例4：计算？蘩cos■xdx.

解：cos■x可以看成u■和u=cosx的复合，d（cosx）=sinxdx，但是经比较k=■不是常数，因此？蘩cos■xdx不能直接用第一类换元积分公式计算.此时可用三角公式将被积函数变形为：cos■x=■.

即？蘩cos■xdx=？蘩■dx=■？蘩dx+？蘩cos■xdx，

而？蘩cos2xdx可巧用公式求解得？蘩cos2xdx=■？蘩cos2xd（2x）=■sin2x+C，

于是？蘩cos■xdx=■x+■sin2x+C.

总之，第一类换元积分法主要是计算复合函数的不定积分，积分运算是微分运算的逆运算，因此，初学者只要熟练掌握复合函数和微分运算的基本知识，就可以运用本文所给出的方法快速计算不定积分.

参考文献：

[1]同济大学.高等数学（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2008.