高中数学中的对比教学

谢娟

摘 要： 本文针对高中生解数学题时经常碰到的老师一讲就会，但自己解题时无从下手的问题提出对比教学.

关键词： 高中数学 对比教学 理解 记忆

高中生在学习数学时经常碰到的问题就是老师一讲能听懂，可是自己做题时就是想不到这样或那样的方法.对此我提倡对比教学，希望对解决学生这方面的问题有帮助.

案例一

1.已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x），f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）= x，求使f（x）=- 在[0，2012]上的所有x的个数.

解：∵f（x+2）=-f（x），∴f（x）为周期函数，T=4.

又∵f（x）为奇函数且当0≤x≤1时，f（x）= x，

∴当-1≤x≤1时，f（x）= x.

由f（x+2）=-f（x）得：f（x）=-f（x-2），当1≤x≤3时，-1≤x-2≤1，f（x）=-f（x-2）=- （x-2）=- x+1.

由图像可知f（x）=- 在[0，2012]上的所有x的有503个.

2.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=（ ） ，求当x∈[3，4]时的f（x）.

解：∵f（x+1）=f（x-1），∴f（x）为周期函数，T=2，

当x∈[0，1]时，f（x）=（ ） ，且f（x）是定义在R上的偶函数，

∴x∈[-1，0]，f（x）=（ ） ，而当x∈[3，4]时，x-4∈[-1，0]，

∴f（x）=f（x-4）=（ ） =（ ） .

对比两道题，都是周期函数且都是求区间上的函数解析式，可求解时所用的关系并不相同，而这正是学生思维的难点，学生不容易想到，学生也经常在想为什么要这么做，而另一道题为什么又要那么做.通过对比教学，让学生充分理解这两道题的区别，解题时需要什么，条件给了什么，如何将问题和条件结合才能解出这样的题，再碰到这样的题，学生就有着手点了。

案例二

1.已知ω>0，函数f（x）=sin（ωx+ ）在（ ，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ）

A.[ ， ] B.[ ， ] C.（0， ] D.（0，2]

解：因为ω>0，函数f（x）=sin（ωx+ ）在（ ，π）上单调递减，所以函数f（x）=sin（ωx+ ）的周期T≥2（π- ）.

又因为ω>0，所以0<ω≤2；

又因为

2.已知y=-8cos（ + ）在区间（ π，a）上是单调函数，求实数a的最大值.

解：由2kπ≤ + ≤2kπ+π得函数的单调增区间为[4kπ- ，4kπ+ ]（k∈Z）；

由2kπ+π≤ + ≤2kπ+2π得函数的单调递减区间为[4kπ+ ，4kπ+ ]（k∈Z）.

设4kπ- ≤ ≤4kπ+ ，得 ≤k≤ ，没有满足条件的整数k.因此 ？埸[4kπ- ，4kπ+ ]（k∈Z）.

设4kπ+ ≤ ≤4kπ+ ，得 ≤k≤ ，又由（k∈Z）得k=1.这说明函数y=-8cos（ + ）在区间[ π， ]上是递减的，故a的最大值是 .

第一题的参数在函数解析式里，用x的范围先求出ωx+ 的范围，再解题.而第二题的参数在单调区间里，用 + 的范围先求出x的范围再解题，采取对比教学才能让学生理解透彻，并且加深记忆.

案例三

1.已知数列{a }中，a =1，前n项和S = a ，求数列{a }的通项公式.

解：由S = a ①得S = a ②，用②-①得：

S -S = a - a ，即a = a - a ，变形得：

= ，由累乘法得：a = ，n∈N .

2.设数列{a }的前n项和为S .已知a =a，a =S +3 ，n∈N .设b =S -3 ，求数列{b }的通项公式.

解：由a =S +3 得：S -S =S +3 ，

即S =2S +3 ，而b =S -3 =2S +3 -3 =2（S -3 ）=2b ，

因此 =2，b =a-3，{b }是以a-3为首项，2为公比的等比数列.

所以b =（a-3）2 ，n∈N .

对比两道题目，条件都是S 与a 的关系，但解题时的出发点不同，将这两道题对比讲解，学生对这种解题方法理解透彻，并能拓展思维，启发学生解题时先观察题目中的条件，对不同的题目选择不同方法.