多画草图绝对值
2015-09-10林海燕
林海燕
一、说题引入
加里宁说：数学是思维的体操.数学是一门换脑子的学科.它能锻炼我们的思维，让我们的思维更缜密，想事情的时候考虑得更全面.它能很好地提升我们的思维水平及思维品质.因此，从初一开始我们应有意识地对学生进行思维能力的训练.这里要说的是初一的一道有关绝对值问题的试卷改编题.
绝对值几何的意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值.在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|.对于绝对值问题，利用数形结合的方法，往往简洁直观，能收到事半功倍的效果.
二、原题再现
|a|=|a-0|表示数a的点到原点的距离（这是绝对值的几何意义）.进一步的，数轴上两个点A，B分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB=|a-b|.利用此结论，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示-3和4的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和-3的两点A.B之间的距离是 ；如果|AB|=2，那么x的值为 ；
（3）说出|x+3|+|x-4|表示的几何意义 ；
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+3|+|x-4|是否有最小值？如果有写出最小值；如果没有说明理由.
三、背景来源，命题立意
此题是平时试卷的改编题，它来源于华师大版七年级上册数学书本38页习题的第六题.
知识点涉及数轴、绝对值问题.此题考查了学生对绝对值几何意义的真正理解与应用.此题可考查学生的观察与归纳、化归与转化等知识能力；可发展学生的符号感，增强学生的应用意识.在分析中注意引导学生运用数形结合的方法解决问题.此题分为四个小题，由易到难，步步为营，环环紧扣，符合《新课标》要求.
四、解题指导
1.数学思想：从特殊到一般、用字母表示数、数形结合、化归与转化的数学思想等.
2.数学方法：分类讨论法、构造图形法等.
五、题目分析
解法：首先引导学生从条件入手，借助数轴，自主探究，完成问题（1）（2）的解答，然后在小组充分讨论后，概括得出自己的答案.这样使不同水平的学生都能得到发展.既激发了学生的学习兴趣，又增强了学生的学习信心.其中问题（2）的前一空格，对学生来说有一定难度，是解决后面问题的转折点.数学课程标准指出：通过教学活动，要使学生能用实例对一些数学猜想作出检验，并能用文字、字母清楚地表达解决问题的过程，解释结果的合理性.解析时教师在此处应发掘“问题”间的关系，从学生的“最近发展区”入手，因势利导，利用题目所给的条件做引导，让学生翻开书本P38页习题第6题，然后多举几个例得出AB=|a-b|的结论，即数轴上两点间的距离公式：在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|.此公式来源于书本.但初一的学生的概括能力较差，对于用字母表示的公式不太会用，觉得很抽象.因此在此处宜慢不宜快，根据从特殊到一般的规律多举实例加以验证以突破这个难点.这个公式在直角坐标系中有着很大的用处.另一法：转化为方程：x+3=2或x+3=-2.问题（3）、（4）先让学生思考5分钟后师生共同解决，努力营造师生、生生互动的课堂氛围，形成有效的学习活动.
（3）的解决紧扣（2）的问题，使用转化思想，把|x+3|化为|x-（-3）|，意义为在数轴上表示x和-3两点之间的距离，并在此处概括为│x-a│在数轴上表示数x的点与表示数a的点两点之间的距离，此问的设计为下一题的思路引导做好铺垫，是下一问知识的“生长点”.
（4）的解法有两种：
法一为零点区间分类讨论法，即按x的取值范围分区间讨论，易知该题原式有两个零点x=-3、x=4【分三种情况】：
①当x≤-3时，|x+3|+|x-4|=-x-3-x+4=-2x+1>6+1=7
②当-3
③当x>4时，|x+3|+|x-4|=x+3+x-4=2x-1>8-1=7
综上所述，|x+3|+|x-4|可取最小值是：7.
此处老师向学生介绍如何求零点，即令x+3=0和x-4=0得x=-3和x=4.在这一活动中，让学生感悟分类讨论的数学数学，积累数学活动经验.
法二为数形结合法，即借助数轴上点P到点M和N的距离之和为│x-m│+│x-n│.启发学生思考如何把|x+3|+|x-4|转化为类似问题（3）的方法解决.即把|x+3|+|x-4|转化|x-（-3）|+|x-4|，去求在数轴上表示数a的点与表示-3和4的点距离之和的最值问题.老师黑板示范，根据三种区间画出三个数轴的草图.此种方法学生易于接受.最后概括为：|x+3|+|x-4|≥7.
两种解法的比较，让学生体验数形结合法的妙用——形象直观，既快又准.
法三为特殊值法，学生中有不少人用此法，但取的值不全，不易找到极值.
六、变式与拓展
1.变式：（条件变式）
（1）把原题中的第4改为若点P表示的数为x，当点P在数轴上什么位置时，|x+3|+|x-4|的值最小？
（2）把原题中的第4改为若点P表示的数为x，当点P在数轴上什么位置时，|x+3|-|x-4|的值最大？
（3）找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x-4|=7这样的整数是 .
（4）解方程：|x+3|+|x-4|=9.
2.|a-2014|+|a-2015|的最小值是 .
3.拓展：当a取何值时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是多少？请说明理由.（结构变式）
4.拓展：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是-24，-10，10.
（1）填空：AB= ，BC= ；
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动.试探索：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由.
（概括：数轴上两点间的距离=大的数-小的数）
提示：（1）14，20；（2）经过t秒后，A、B、C三点所对应的数分别是-24-t，-10+3t，10+7t则BC=（10+7t）-（-10+3t）=4t+20，AB=（-10+3t）-（-24-t）=4t+14，BC-AB=（4t+20）-（4t+14）=6.∴BC-AB的值不会随着时间t的变化而改变.
