数列通项公式的常见题型及求法

连兰

摘 要： 数列通项公式的求解是高考的常考点，常见的题型主要有八种：给出递推关系型，给出前项和型，周期函数型.其基本的解法有：公式法，累加法，累乘法，构造法.

关键词： 通项公式 累加法 累乘法 构造法

一、a -a =d（常数）型

由等差数列的定义，可以判断数列{a }为等差数列，故可用公式法.

例1：已知数列{a }满足a =1，a =a +2，（n∈N ），求这个数列的通项公式a .

解：∵a -a =2

∴数列{a }是首项a =1，公差d=2的等差数列.

故a =a +（n-1）d=1+（n-1）·2=2n-1

二、a -a =f（n）型

f（n）是以n为自变量的函数，此时可以用累加法：

a =a +（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）

例2：已知数列{a }满足a =1，a =a +2n，求这个数列的通项公式a .

解：∵a -a =2n

∴a =a +（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）=1+2×1+2×2+…2×（n-1）=1+2[1+2+…+（n-1）]=n -n+1

三、 =q（常数）型

由等比数列的定义，可以判断数列{a }为等比数列，故可用公式法.

例3：已知数列{a }满足a =1，a =2a （n∈N ），（n∈N ），求这个数列的通项公式a .

解：∵ =2

∴数列{a }是首项a =1，公比q=2的等比数列.

故a =a q =2

四、 =f（n）型

f（n）是以n为自变量的函数，此时可以用累乘法：a =a · · ·…· .

例4：已知数列{a }满足a =1，a =2 ·a ，（n∈N ），求这个数列的通项公式a .

解：∵ =2

∴a =a · · ·…· =1×2×2 ×…×2 =2

五、a =Aa +B型，其中A，B∈R

若A=1，则为上述的第一、二类题型.

若A≠1，则用构造法，即想方设法构造为一个新的数列，使这个新的数列为我们所熟悉的等差数列.此时构造的新数列{a + }是首项为a + ，公差为A的等差数列.

例5：已知数列{a }满足a =1，a =2a +3，（n∈N ），求这个数列的通项公式a .

解：设a +t=2（a +t），即a =2a +t

又∵a =2a +3

∴t=3

故有a +3=2（a +3）

∴数列{a +3}是首项为4，公差为2的等差数列

因此a +3=4+（n-1）·2=2n+2

即a =2n-1为所求.

六、S =f（n）型

利用a =S ，（n=1）S -S ，（n≥2）求通项公式.

例6：已知数列{a }的前n项和为S =n -10n.（n=1，2，3…），则其通项公式为a =？摇？摇 ？摇？摇.

解：当n=1时，a =S =-9

当n≥2时，a =S -S =（n -10n）-[（n-1） -10（n-1）]=2n-11

∵a =-9适合上式

∴a =2n-11，n≥1

七、S =f（a ）型

利用a =S ，（n=1）S -S ，（n≥2）转化为递推公式，即为上述的前五类题型来求解.

例7：已知数列{a }的前n项和为S ，S = （a -1），n∈N ，求通项公式a .

解：当n=1时，a =S = （a -1），此时a =-

当n≥2时，a =S -S = （a -1）- [a -1]

即有 =-

∴数列{a }是首项a =- ，公比q=- 的等比数列，

故a =a q =（- ） .

八、周期数列

例8：已知数列{a }满足a =0，a = ，（n∈N ），（n∈N ），则a =（？摇？摇？摇？摇）

A

分析：a =0，a =- ，a = a =0…

由此可看出数列{a }是一个周期数列，其最小正周期为3，

故a =a =a =- .