立足教材谈数学应用问题教学

黄明英

摘 要： 本文认为，教师应认真研究新教材中的应用问题的实际背景，有的放矢地进行教学，培养学生的数学应用意识，通过建模准确而灵活地运用数学知识解决具有实际意义的或在相关学科、生产、生活中的数学问题。

关键词： 教材 数学建模 数学应用意识

在先行高一、高二的数学教材中，数学应用问题遍及教材的各个方面，选取的材料内容非常丰富、涉及的领域很多，教师要在仔细阅读新课标的基础上，充分挖掘教材优势，培养数学应用意识，会用数学知识解决实际问题。

虽然早已有人对数学应用题进行研究，但如何结合新教材的特点，有效地与教学过程结合起来，找一条适合普通高中学生可行的教学方法，还是一个值得研究的课题。下面是我在使用人教A版新教材以来，针对新教材的特点，对高中学生进行数学应用问题教学的认识。

一、创设生活情境，让学生充分感受数学就在身边

传统教材对数学的应用不够重视，学生觉得数学离生活太远，没有多少用处，从而失去学习数学的兴趣。新教材对此做了大的调整，增加了具有广泛应用性、实践性的教学内容，如每一章的序言，课题引入、例题、练习等都编排了许多现实问题，说明该章的知识内容，突出知识背景及其实际应用。

例如在《数学5》中，第一章天文观测、航海和地理场景，已经置学生于“数学来源于生活又服务于生活”的情境之中。以“怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度”等问题作为章头序言，教学时可由教师简单提出或由学生阅读，激发学生解决身边实际测量问题的欲望。让学生体会数学就在身边，感受数学的趣味和作用，从而激发学生学习数学的兴趣。

二、认真分析例题中出现的专业术语或新名词

数学应用题大部分文字很长，学生一见就怕，甚至连题目都不想往下看了。为了为了消除学生畏惧心理和语言障碍，新教材设置了许多生动的数学故事和数学史以引入课题，使数学学习摆脱枯燥、抽象和脱离实际的现象。还有一些与实际生活、生产紧密结合的问题，引用时难免出现一些专业术语或新名词。现在很多学生缺乏实际经验，接触到实际问题较少，所以教师应适时将现代生产生活中的一些常识介绍给学生，引导学生用自己的经验进行比较并加以想象，使学生熟悉相关的专业术语和新名词，从而淡化专业术语对读题的影响。例如：在《数学5》中，引入等差数列、等比数列概念时出现的单利和复利问题，可结合实际生活中的购房问题，助学贷款等进行比较分析；在《数学1》中，引入函数概念时出现的成本和收益的问题、指数函数引入的半衰期问题时用到的有关化学知识；在《数学3》中，引入统计和概率时出现的市场预测和风险评估的问题等，都需要教师课前仔细阅读，认真备课，才能引导学生将实际问题抽象为数学问题。

三、注重例题讲解

例题教学在教学中占有非常重要的地位，新教材中所选的例题都是经过精心挑选的，具有代表性。把好有关应用问题例题教学这一关，就要求教师在数学应用题范例讲解过程中，尽量把课本中例题剖析得透些，让他们明了解应用题的过程和思路，这样不但加深了学生对概念、公式、定理的理解，而且培养了学生分析问题、解决问题、数学建模的能力。解决实际问题的基本过程是：收集数据、画散点图、选择函数模型、求函数模型、检验、下结论，而过程中的关键是选择函数模型即数学建模能力的强弱，所以新课程下高中数学应用问题在教学中，同样要注意培养学生以下能力：

1.读题能力

弄清题意是数学建模的前提，即在解题过程中不但要正确理解题意中的数学术语，还要反复推敲应用题表达的数量关系，新教材引用的例题都较前沿，只有读懂了题目所给的文字材料、隐含的背景条件和解题目的，才能获得完整清晰的印象，真正理解这个问题，从而确定解题的方法和程序。

2.转化能力

数学应用题与实际问题紧密结合，只有把问题中隐含数量关系的文字、图表语言转化成熟悉的数学符号语言，即概率、排列组合、数列、方程、不等式、函数等，才能有效地建立数学模型。

如《数学5》第79页例4：一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：y=-2x■+220x。若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？将要解决的问题转化为数学成符号语言，即为-2x■+220x>6000。

3.选择能力

在理顺题意、转化为熟悉的数学问题后，选择适当的数学模型至关重要，只有对概念、公式、定理的深刻的理解才能选择一个最佳的模型，常用的建模策略：

（1）直接建模。即根据题目所给的条件，将题设条件中各数量关系直接转换成数学表达式进行求解，还原。

（2）间接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需要进一步求出，然后才能使用现有数学模型。

4.运算能力

现实应用题的运算量较大，学生不能忽视计算过程，教师在平时教学过程中要起“模范带头”作用，不能把计算过程扔给学生，要努力让学生做到以下几点：（1）思想上重视计算；（2）算法要精心研究；（3）书写要工整。培养学生严密的思维，做事精细的良好品质能力。应用问题不是纯粹的数学问题，数据必须符合实际背景。因此，对于解出的结果要带入原问题进行检验、判断，最后得出结论，作出回答。如建立线性规划模型解决最优化问题，写约束条件必须符合实际情况，否则代入检验不符。

另外，为了增强学生的建模能力，在应用问题范例的教学中，还要在每一章节教学过程中，及时引导学生将应用问题进行归类，帮助学生准确建模，如测量问题建立三家函数模型、银行贷款利率计算可建立数列模型、求平均增长率问题可建立指、对数或方程模型、拱桥、炮弹发射、卫星制造问题可建立二次模型，计数问题建立排列组合模型，中奖问题建立概率模型，求最值问题可建立线性规划模型，等等。

四、加强课外实践

新课程下高中数学应用问题教学的最终目的，是使学生能运用课本知识独立解决实际问题，但更多的知识背景不是教师所能全部传授的。因此，新教材开辟了“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与发现”“实习作业”等拓展性栏目，这就要求应用题教学的时间与空间范围，不能局限于课堂上有限的时间和教室有限的空间，应更多地走入社会，为此教师在研究性学习及校本课程向学生提出一些专题调查任务。例如教师可布置下列研究课题：

1.牛奶包装盒如何设计较省？

2.体彩获奖概率的大小？

3.银行存款中，年利率、利息、本息、本金之间的关系。

4.购房中贷款问题。

5.怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？

學生围绕某一课题开展调查，如课题5选定符合要求的地点，进行实际测量，通过计算器进行计算，提高学生积极性，积累解决实际问题的经验，培养学生自主学习能力，激发学生的学习兴趣。

总之，数学应用题的教学不是一蹴而就的，重在平时的点滴积累。在新一轮课程改革中，教师应认真学习《普通高中数学课程标准（实验）》，积极探索教学策略，把“解决问题”引入日常课堂教学中，结合教材加强数学知识与其他学科的渗透，在教学中适时进行应用题教学，把培养学生应用意识放在首位，让学生在解应用题的过程中感觉到“数学有用、要用数学”，激发学生学习数学的热情，提高学生学习数学的兴趣。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书.数学1必修A版.