直击2014年中考中二次函数的应用

吴智勇

中考中与二次函数应用有关的考题比较多，本文从2014年中考题中选三例分析，供同学们学习时参考.

一、 寻求最大利润

例1 （2014·湖北武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.

（1） 求出y与x的函数关系式；

（2） 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3） 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4 800元？请直接写出结果.

【分析】（1） 根据单价乘数量，可得答案；

（2） 根据分段函数的性质，分别求出最大值，然后比较得答案；

（3） 根据二次函数值大于或等于4 800，一次函数值大于或等于4 800，得不等式组，解不等式组，得答案.

解：（1） 当1≤x<50时，y=（200-2x）·（x+40-30）=-2x2+180x+2 000，

当50≤x≤90时，y=（200-2x）（90-30）=-120x+12 000，

所以y与x的函数关系式：

y=-2x2+180x+2 000（1≤x<50），-120x+12 000 （50≤x≤90）.

（2） 当1≤x<50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45；

当x=45时，y最大=-2×452+180×45+2 000=6 050；

当50≤x≤90时，一次函数中，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6 000.

综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6 050元.

（3） 当20≤x≤60时，每天销售利润不低于4 800元.

【点评】此题为数学建模题，根据题意，建立二次函数的模型，然后借助二次函数解决实际问题，对于最大利润则利用了二次函数的性质求解，其中分类讨论是解题关键.

二、 试验新产品

【点评】此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图像得出正确信息是解题关键.

（作者单位：江苏省东台市实验中学教育集团）