数形结合让方程函数化

李洪庆

题记：著名数学家华罗庚先生说“数形结合千般好，隔裂分离万事休”.

【引例】二次函数y=ax2+bx的图像如图1，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ ）.

A. -3 B. 3

C. -6 D. 9

【常规思路】题说“二次函数y=ax2+bx的图像如图”，理应先看图，由二次函数的图像可知：抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，由此可得a>0和=-3，即b2=12a，再看题目中有“一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根”，这话告诉我们Δ=b2-4am≥0，即12a-4am≥0，12-4m≥0，解得m≤3，从而问题得解：m的最大值为3. 故选B.

【题后反思】答案不是解题的终结，回头再看题目条件：一元二次方程ax2+bx+m=0中有ax2+bx，二次函数y=ax2+bx中也有ax2+bx，感觉两者应该有关联，当然上面的解答正是借助关联的式子b2=12a得解的，让我们换个角度思考一下. 我们知道方程研究的是“数”，二次函数的图像是抛物线，研究的是图形的性质，更多地关注“形”，但二者联系起来看，其实方程是函数的特殊情形，一元二次方程是二次函数解析式中y=0的特殊情形，一元二次方程的根的讨论问题对于二次函数来说则是抛物线与x轴的交点问题. 为此，我们把一元二次方程ax2+bx+m=0变形为ax2+bx=-m，从函数的角度来看，一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根就是抛物线y=ax2+bx与直线y=-m有交点. 根据二次函数y=ax2+bx的图像开口向上，有最小值-3，直线y=-m经过（0，-m），平行于x轴，当-m≥-3，即m≤3时抛物线y=ax2+bx与直线y=-m有交点，一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，所以m的最大值为3.

【方法提炼】常规思路是顺其自然的解答，题后反思得到的数形结合的方法直观简单. 数形结合是根据数学问题的条件与结论的内在联系、数量与图形之间的对应关系，既分析问题的代数含义，又揭示其几何意义，把数量关系与空间图形巧妙、和谐地结合起来，并利用“结合点”寻找解题思路，使问题得到圆满解决.

【应用实例】

例1 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图2所示，若ax2+bx+c=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）.

A. k<-3 B. k>-3

C. k<3 D. k>3

【思路分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像可得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像（如图3），由于ax2+bx+c=k（k≠0）有两个不相等的实数根，所以k的取值范围是k>3，选择D.

例2 设一元二次方程（x-1）（x-2）=m（m>0）的两实根分别为α、β，则α、β满足（ ）.

A. 1<α<β<2 B. 1<α<2<β

C. α<1<β<2 D. α<1且β>2

【思路分析】画出二次函数y=（x-1）（x-2）和直线y=m的草图4，由图像可知α<1且β>2，选择D.

例3 若x1、x2（x1

A. x1

B. x1

C. x1

D. a

【思路分析】画出二次函数y=（x-a）（x-b）和直线y=1的草图5，由图像可知x1

【思想提炼】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法. “数”和“形”是数学学习的两个基本对象，对于一些问题，单纯地从“数”的角度去分析探求运算会较繁琐冗长，如果能设法从“形”的角度构造直观图形描述刻画问题的条件和结论，能使错综复杂的关系变得清晰，解题思路流畅. 数形结合思想把形的直观性与数的抽象性有机地结合在一起，借助于图形的直观性使复杂的数量关系简单化，我们对数形结合思想方法应该高度地重视. 通过“以形识数，以数解形”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题，拓展思路，这就是数形结合的核心价值.

（作者单位：江苏省东台市实验中学教育集团）