厘清三线八角 掌握两线平行

魏宏

当迎春花开了，我们也就进入初中七年级下册的第一章《平面图形的认识（二） 》学习了，这就需要同学们去熟悉一张基本图形——三线八角；理解一个概念——平行线；掌握平行线的3条判定、3条性质，以上内容掌握将有助于同学们更快地走进几何图形的学习.那么，什么是平行线？平行线的性质、判定又是怎样的呢？

一、三线八角

两条直线被第三条直线所截形成八个角，

它们构成了同位角、内错角和同旁内角.

如图，直线a、b被直线 所截

①∠1和∠5在截线 的同侧，同在被截直线a、b的上方，叫做同位角（位置相同）.还有∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8.

②∠5和∠3在截线 的两旁（交错），在被截直线a、b之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）.还有∠4和∠6.

③∠5和∠4在截线 的同侧，在被截直线a、b之间（内），叫做同旁内角.还有∠3和∠6.

理解三线八角，我们要把握以下几点：

1、三线八角

都是就两条直线被第三条直线所截这种情况下，不同顶点的两个角之间的位置而言的.如图，∠1和∠2虽然是不同顶点的两个角，但不是两条直线被第三条直线所截得的角，故不属于“三线八角”中的任何一类角.∠2和∠3虽是由两条直线被第三条直线所截而成的角，但它们同顶点，故也不属于“三线八角”中的任何一类角.

2、 三线八角讲的只是位置关系，而不是大小

关系，切不可误认为同位角、内错角必相等，同旁内角必互补.

3、 一个角可以同时

和几个角是同位角、内错角、同旁内角.如图，∠1和∠3、∠2是同位角，和∠4是同旁内角，和∠5是内错角.

二、概念来袭

1.平行线的概念

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

2.平行线的判定

在运用平行线的判定时，一定要看清是哪两条直线被哪一条直线所截而成的同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，才能正确判断是哪两条直线平行.三线八角中的“角”担任了平行线的“裁判员”.

3.平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）两直线平行，内错角相等；

（3）两直线平行，同旁内角互补.

在理解平行线的性质时，一定要记住：“要使同位角或内错角相等，同旁内角互补”成立的前提条件是“已知两直线平行”.

三、概念活用

例1 如图，判断下列各对角是哪两条直线被哪条直线所截而成的什么角：⑴∠1和∠2；⑵∠1和∠3；⑶∠1和∠BAD；⑷∠2和∠4.

【解析】如图，∠1和∠2有一条公共边AB，另一边分别是AC、BC， 分离出基本图形如图.这样就构造出了一个很熟悉的“三线八角”，对照基本图形，易知∠1和∠2是直线AC、BC被直线AB所截而成的同旁内角；同样，我们可以把图中的∠1和∠3、∠1和∠BAD、∠2和∠4 分别分离出来，如下面三张图：

【答案】如图，∠1和∠2是直线AC、BC被直线AB所截而成的同旁内角，∠1和∠3是直线AB、CD被直线BC所截而成的同位角，∠1和∠BAD是直线AD、BC被直线AB所截而成的同旁内角、∠2和∠4是直线AB、CD被直线AC所截而成的内错角.

【点评】解决这类问题要熟悉“三线八角”的基本模型，根据其位置特征，可总结为：同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型.学会从原图中分离出基本图形，不仅为识别“三线八角”提供了方便，也为以后解决更复杂的几何问题奠定了坚实的基础.

【解析】首先由已知EF∥AD，根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3，再由∠1=∠2，利用等量代换可得∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥DG，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠AGD=180°，进而得到答案.

【答案】∠3，两直线平行，同位角相等；DG，内错角相等，两直线平行；∠AGD，两直线平行，同旁内角互补；110°.

【点评】平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.见到“特殊位置”的角相等或互补，就应该想一想否有平行线的出现.反之，遇见直线平行就应联想到角相等或互补.

同学们，你们现在对“三线八角”和平行线的性质与判定有了一个更深入的理解了吗？当然，我们同时也要知道，平行线的判定还不止这些，那么，还有哪些呢？这个问题就留给你们自己思考吧！