既见树木又见森林

钱惠峰

“统计和概率的简单应用”是苏科版初中数学的收官之作，它对整个初中阶段的统计和概率知识起着统领的作用. 我们知道：概率研究随机现象的规律性，统计则研究如何合理收集、整理、分析数据，并从数据中获取信息，它们都可以为人们决策提供依据和建议，而其中蕴含的统计思想和概率观点更是其灵魂. 在本章，我们学习了以下6小节内容：中学生的视力情况调查、货比三家、统计分析帮你做预测、抽签方法合理吗、概率帮你做估计、收取多少保险费才合理. 不过，在学习时应认识到：掌握了简单应用，只是见到了树木；体悟其中的思想与方法，才是真正地见到森林.

下面让我们一起对本章的核心概念作一些解读.

一、 统计的简单应用

统计的基本特征之一是通过部分的数据来推出全体数据的性质，所以利用抽样思想方法，通过样本观测总体是统计应用的核心内容.

1. 用样本估计总体

（1） 样本的代表性

抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法. 抽样调查时要用合适的抽样方法获取可靠、有效的统计数据，这样才能使估计、推断更加准确，所以抽样时要注意样本的代表性. 在抽取样本时，选择的个体要有典型性、普遍性，大体上能够代表整体，并且样本容量适当. 有代表性的样本能最大程度地估计出总体的相应特性.

例1 为了了解全校学生的视力情况，小明、小华、小李三个同学分别设计了三个方案.

①小明：检查全班每个同学的视力，以此推算出全校学生的视力情况.

②小华：在校医室找到去年全校的体检表，由此了解全校学生视力情况.

③小李：抽取全校学号为5的倍数的同学，检查视力，从而估计全校学生视力情况.

以上的调查方案最合适的是______.（填写序号）

【分析】小明以自己班同学的视力推算全校学生的视力，具有片面性；小华的调查是全面调查，并且已经失去了时效性；小李抽取的个体具有普遍性，并且容量恰当，因而抽取的样本具有代表性. 故填③.

（2） 简单随机抽样

简单随机抽样是最基本的抽样方法. 一般地，从一个含N个个体的总体中抽取容量为n的样本（n

简单随机抽样的特点是：每个样本单位被抽中的概率相等，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性.

除了简单随机抽样，抽样调查的其他方法还有系统抽样、分层抽样等，而简单随机抽样是其他抽样方法的基础.

例2 为了解全校学生的视力情况，采用了下列调查方法，其中为简单随机抽样的是（ ）.

A. 从九年级每个班级中任意抽取10人作调查

B. 查阅全校所有学生的体检表

C. 对每个班学号为1，11，21，31，41的学生作调查

D. 从每个班中任意抽取5人作调查

【分析】A. 忽略了七年级、八年级的存在；B. 是全面调查；C. 是分层抽样；D. 每个人都有被抽到的可能性，是简单随机抽样，故选D.

（3） 用样本估计总体

从实际问题的需求出发，在科学、合理地获取样本后，其落点是用样本估计总体的思想去解决实际问题，从而明晰样本和总体之间的关系，理解抽样思想.

用样本估计总体有两个特征：一方面，样本的抽取具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体可能有一定偏差；另一方面，如果抽样的方法比较合理，样本的信息可以比较好地反映总体的信息，从而为人们合理地决策提供依据.

例3 九（1）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理如下表：

若该小区有800户家庭，据此估计该小区月均用水量不超过10 m3的家庭约有______户.

【分析】先看样本的特性：月均用水量不超过10 m3的家庭的百分比为=70%，利用样本估计总体的思想，估计该小区月均用水量不超过10 m3的家庭约有70%×800=560（户）.

2. 科学、全面分析数据

从生活中收集、描述、分析数据后，我们要学会利用数据对生活中的事件进行决策. “货比三家”其实就是要求我们科学、全面分析数据，或者说，正确的统计推断，要通过全面分析数据，才能从中提炼出准确、有价值的信息.

例4 小张根据某媒体上报道的一张条形统计图（如图），在随笔中写道：“……今年在我市的中学生艺术节上，参加合唱比赛的人数比去年激增……”小张说的对不对？为什么？请你用一句话对小张的说法作一个评价：_____________________

___________________________________.

【分析】小张由这张不规范的条形统计图得出了错误的信息，实际上，我们需要从整体的角度来把握图形，不能只看图像的高低，要比较两年参加比赛人数的多少，还要看纵坐标的差距大不大. 因此小张说得不对，一句话评价是：光看图像得出了错误的信息，事实上，两年参加比赛人数的差距不是很大.

例5 现代树苗培育示范园要对A、B、C、D四个品种共800株松树幼苗进行成活实验，从中选出成活率高的品种进行推广，通过实验得知，B种松树幼苗成活率为90%，将实验数据绘制成两幅统计图，如图1与图2所示（部分信息未给出）.

（1） 实验所用的C种松树幼苗的数量为______；

（2） 试求出B种松树的成活数，并把图2的统计图补充完整；

（3） 你认为应选哪一种品种进行推广？并请说明理由.

【分析】（1） 800×（1-25%-35%-20%）=160（株）；

（2） B种松树幼苗数量为800×20%=160株，B种松树的成活数160×90%=144（株），补全统计图如图3所示；

（3） A种松树幼苗的成活率为×100%=85%，B种松树幼苗的成活率为90%，C种松树幼苗的成活率为×100%=92.5%，D种松树幼苗的成活率为×100%=95%，所以应选择D种松树品种进行推广.

在上面的问题中，选择哪一种品种进行推广不能仅看各品种的成活株数，而应结合各种幼苗的数量，计算出相应的成活率，由此得到选择哪一种品种进行推广.

3. 统计分析做预测

统计强调经历数据的收集、整理、描述、分析，以及根据统计结果进行判断、预测和决策等活动，针对具体的实际问题，要注意从数据中尽可能多地获取信息，逐步培养对数据的直观感觉，形成科学的数据分析观念和较强的问题解决能力.

例6 “五一”劳动节，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会，如图4，转盘被分为8个全等的小扇形，指针指向8就中一等奖，指向2或5就中二等奖，指向其余数字不中奖. 经统计，当天发放一、二等奖奖品共300份，那么据此估计参与此次活动的顾客为______人次.

【分析】易知转盘被分为8个全等的小扇形，故带有数字8、2、5的扇形占总面积的.

∵当天发放一、二等奖的奖品共300份，∴参与此活动的顾客为300÷=800人.

二、 概率的简单应用

1. 抽签不分先后

人们常常要采用抽签的方法来决定某种方案. 例如，乒乓球比赛以掷硬币来决定哪个运动员先发球；若干人进行的比赛，以抽签的方式决定比赛的先后次序等. 那么，先抽后抽的中签机会是不是相等呢？我们可以从概率分析入手，得出“抽签不分先后”的基本特征.

例7 小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏. 他们约定：如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜负.

（1） 在第一个回合中，如果小明预先想好出“手心”，则他获胜的概率是多少？

（2） 在第二个回合中，如果小明预先想好出“手背”，则他获胜的概率是多少？

（3） 在第三个回合中，如果小明没有预先想好出什么，只是随机出“手心”或“手背”，则他获胜的概率是多少？

【分析】（1） 画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜有1种情况，∴他获胜的概率是.

（2） 画树状图同（1），

∵共有4种等可能的结果，在一个回合中，如果小明出“手背”，则他获胜有1种情况，∴他获胜的概率是.

（3） 画树状图得：

∵共有8种等可能的结果，在一个回合中，如果小明随机出“手心”或“手背”，则他获胜有2种情况，∴他获胜的概率是=.

由上面的问题可见，小明获胜的概率与是否预先想好“手心”或“手背”无关，这其实与“抽签不分先后”的本质是一样的.

2. 频率估计概率

随机现象表面看无规律可循，出现哪一个结果事先无法预料，但当我们大量重复实验时，实验的结果都会呈现出其频率的稳定性. 用频率估计概率是用样本估计总体的一个重要方面.

例8 为了研究某自然保护区的生态环境，科学家在该地区做了如下实验，在该地区第一次捕捉了100只雀鸟，然后作上记号放回该地区，经过一段时间后，再从该地区捕捉了同样的雀鸟100只，发现其中带有标记的雀鸟有10只，根据实验数据可估计该地区这种雀鸟的数量有______.

【分析】设估计该地区这种雀鸟的数量有n只. 在抽取的样本中，带有标记的雀鸟所占的百分比为，而在总体中，共有100只雀鸟作了标记，于是=，得n=1 000.

3. 概率估计作决策

随机思想是概率思想的核心. 随机事件的发生虽然是不确定的，但发生的次数与其发生的概率是有联系的.

一般地，如果随机事件A发生的概率是P（A），那么在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值为n×P（A）.

比如，交通部门可以运用统计方法估计出一辆汽车在一年内出交通事故的概率，而保险公司则通过对出险概率、赔付金额等因素的分析，来推算出收取多少保险费.

例9 假设一个小城镇过去10年中，发生火灾情况如表所示.

试问：（1） 估计平均每年在1 000家中被烧几家？

（2） 如果保户投保30万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费，保险公司才不亏本？

【分析】（1） 被烧家数为1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11（家），总家数为365+371+385+395+412+418+430+435+440+445=4 096（家）.

≈0.002 7，1 000×0.002 7=2.7（家）.

答：（1） 每年在1 000家中，大约被烧2.7家.

（2） 设每户交x元保险费给保险公司，则n家保户共收取保险费nx元，保险公司平均赔偿300 000×0.002 7n元.

则nx≥300 000×0.002 7n，解得x≥810（元）.

答：保户投保30万元的保险，至少需交810元的保险费.

例10 某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图5，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会. 如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物. 如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元.

（1） 求转动一次转盘获得购物券的概率；

（2） 转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？

【分析】（1） ∵转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，

∴P（转动一次转盘获得购物券）==.

（2） ∵P（红色）=，P（黄色）=，P（绿色）==，

∴转动一次转盘平均获得购物券的金额为200×+100×+50×=40（元）.

∵40元>30元，

∴选择转转盘对顾客更合算.

上面的问题中，若选择转转盘，由于随机性，每次试验的结果都是不确定的，可能什么都得不到，但还有可能得到200元、100元或50元购物券. 随着试验次数的增加，平均收益将稳定于40元. 换句话说，如果有大量人来选择，选择转转盘的人的平均收益要比直接获得30元购物券的人的平均收益高. 因此，我们选择转转盘的决策是有意义的.

（作者单位：江苏省无锡市荡口中学）