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借助几何画板探究对勾函数

2015-09-10张伟俊

初中生世界·九年级 2015年4期
关键词:画板矩形意图

张伟俊

九年级下学期,同学们在学习一次函数、反比例函数之后,又研究了二次函数. 此时的你已经积累了一定的研究函数的方法和经验. 但是,当大家面对一个陌生的函数时,你能否运用已有的研究函数的方法和经验去研究它呢?这是一个非常有意义的问题!为此,笔者设计了一节数学综合与实践课《借助几何画板探究对勾函数的图像和性质》,让同学们认识到“面对任何一个陌生的函数,都可以运用已有的思路、方法去研究它”.

具体的探究方案如下:

1. 学前先思,激活经验

回顾学习研究一次函数、反比例函数、二次函数的过程,总结研究函数的思路和方法,思考:面对一个陌生的函数,你将从哪些方面对它展开研究?你的方法是什么?

(设计意图:在学习新知之前,以问题的形式,引导大家回顾总结研究函数的一般思路和方法,激活已有知识和经验,生成解决问题的新智慧. )

2. 创设情境,提出问题

(1) 问题背景:若矩形的周长为1,则可求出该矩形面积的最大值. 我们可以设矩形的一边长为x,面积为S,则S与x的函数关系式为:S=-x2+x(x>0),利用函数的图像或通过配方均可求得该函数的最大值.

(2) 提出问题:若矩形的面积为1,则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有,最大(小)值是多少?

(设计意图:通过创设问题情境,让同学们在运用已有知识、经验解决问题的过程中提出新问题,并为类比原有解决问题的策略解决新问题埋下伏笔.)

3. 类比学习,建立模型

若设该矩形的一边长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为:y=2x+,且x>0. 于是,问题就转化为研究该函数的最大(小)值了.

(设计意图:期望同学们能类比原有解决问题的策略,从实际问题中抽象建立数学模型,努力通过对数学模型的求解而解决实际问题. )

4. 自主探究,分析问题

(1) 实践操作:填写下表,并用描点法画出函数y=2x+(x>0)的图像:

(2) 观察猜想:观察该函数的图像,猜想当x=______时,函数y=2x+(x>0)有最______值(填“大”或“小”),是______.

(3) 推理论证:问题背景中提到,通过配方可求二次函数S=-x2+x(x>0)的最大值. 你能通过配方求函数y=2x+(x>0)的最大(小)值吗?

(设计意图:以问题为载体,引领大家从“形”与“数”两个角度,自主探索,独立求解新函数的最值.)

5. 合作探究,解决问题

(1) 小组合作交流,分享经验,共探疑难. 小组成员先分别介绍自主探究过程中的收获,提出自主探究过程中的疑问,然后共同分析疑难问题.

(2) 全班展示交流,相互补充,共同完善. 各小组代表汇报小组交流达成的共识,以及还未解决的问题,然后共同解决疑难问题.

(3) 同学们在交流的过程中,还可以通过引发深思的追问,触及问题的本质,激发思考,并有意识将问题拓展延伸.

(设计意图:通过小组合作学习,互相追问,深化同学们对问题的本质理解.)

6. 运用技术,拓展研究

借助几何画板探究对勾函数y=ax+(a,b为常数,且a≠0,b≠0)的图像和性质.

(1) 按照从特殊到一般的顺序,用控制变量法探究对勾函数的图像,感受a,b对函数图像和性质的影响.

(2) 用极限的思想,体会对勾函数y=ax+(a,b为常数,且a≠0,b≠0)与正比例函数y=ax(a为常数,且a≠0)、反比例函数y=(b为常数,且b≠0)之间的关系.

(3) 当a>0,b>0时,作出对勾函数y=ax+的图像,并写出你发现的性质.

(设计意图:当大家在借助几何画板探究陌生函数的性质时,应按照从简单到复杂、从特殊到一般的顺序展开,逐步触及问题的本质. 同时,也渗透了研究问题的方法和思路.)

(作者单位:江苏省常州市武进区湖塘实验中学)

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