三角函数考题零距离

王克美

锐角三角函数的概念及锐角三角函数值的求法是非常重要的内容，它是本章的基础，学好这部分知识对进一步学习锐角三角函数的应用具有至关重要的意义，现将中考中关于这部分的考题精选如下：

一、 确定特殊角的三角函数值

例1 （2007·江苏南京）如果∠α是等腰直角三角形的一个锐角，则tanα的值是（ ）.

A. B.

C. 1 D.

【分析】本题主要考查特殊锐角三角函数值理解情况. 解决本题需要熟练记住特殊锐角的三角函数值. 因为等腰直角三角形的锐角∠α=45°，所以tanα=tan45°=1，故选C.

【点评】如果没有记住45°的正切值，可以在等腰直角三角形中借助勾股定理找到三边关系，然后根据三角函数定义求解.

二、 求三角函数值

例2 （2007·江苏盐城）利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（ ）.

A. 0.5 B. 0.707

C. 0.866 D. 1

【分析】本题是利用计算器求sin30°，根据按键顺序，计算器上显示的结果是0.5，故选A.

【点评】解决这类问题的思路是熟悉按键顺序，由于各种计算器计算三角函数值的按键顺序不同，因此此类问题常考求值或根据按键顺序求三角函数值，而不考按键顺序.

例3 （2007·山西太原）在正方形网格中，∠α 的位置如图1所示，则sinα 的值为（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】本题是一道设计比较新颖的试题，它通过网格的特征给出解题信息，由正方形网格可知角α的对边的长为3时，邻边的长也为3，要求sinα，只要根据勾股定理求出三角形的斜边，再根据三角函数的定义计算即可.

解：设α的对边为a，邻边为b，斜边为c，则a=3，b=3，所以c==3，所以sinα===，故选B.

【点评】解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边长，然后根据定义进行求值.

例4 （2007·四川） 如果α是锐角，且cosα=，那么sinα的值是（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】把α放到直角三角形ABC中，不妨设∠A=∠α，根据三角函数的定义可知，cosA=，所以只要由已知条件求到即可得到sinα的值.

解：如图2，设∠A=∠α，AC=4x，因为cosα=，则AB=5x，根据勾股定理，得BC==3x，所以sinA===， 故选C.

【点评】本题是一道选择题，解决问题时可以采用取特殊值的方法，即令AC=4，则AB=5. 这样更简单.

三、 确定取值范围

例5 （2007·湖南冷水滩）已知sinα=2m-3，且α为锐角，则m的取值范围是_____.

【分析】根据锐角三角函数定义可知，0

【点评】由于Rt△ABC的三边长都是正数，所以锐角的三角函数值也都为正；又由于直角三角形的斜边大于任一直角边，所以有tanA>0，0

四、 由特殊角的三角函数值求角

例6 （2007·广东韶关）已知sinA=，且∠A为锐角，则∠A=（ ）.

A. 30° B. 45°

C. 60° D. 75°

【分析】根据sin30°=可得，A等于30°，故选A.

【点评】特殊锐角三角函数值在解决实际问题中应用非常广泛，所以我们要熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值.

五、 利用特殊角的三角函数值计算

例7 （2007·湖北襄樊）计算：cos245°+tan60°·cos30°等于（ ）.

A. 1 B.

C. 2 D.

【分析】本题是一道与锐角三角函数值有关的计算问题，解决问题的关键是先确定函数值，然后再进行实数的运算.

cos245°+tan60°·cos30°=2+·=+=2，故选C.

【点评】与特殊锐角三角函数值有关的运算，先写出每个锐角函数值，然后转成具体的实数运算，应注意运算的顺序和计算的方法.

六、 利用三角函数性质判断

例8 （2007·山东滨州）如图3，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的叙述，正确的是（ ）.

A. sinA的值越大，梯子越陡

B. cosA的值越大，梯子越陡

C. tanA的值越小，梯子越陡

D. 陡缓程度与∠A的三角函数值无关

【分析】本题主要考查三角函数的定义及其性质. 依题意，在梯子长度不变的情况下，锐角A的三角函数与以梯子为斜边的直角三角形两直角边的长度有关，即：sinA的值越大，梯子靠在墙上的长度越长，梯子就越陡；cosA的值越大，梯子靠在墙上的长度越短，梯子就越缓；tanA的值越小，梯子靠在墙上的长度越短，梯子就越缓.

由此可见，陡缓程度与∠A的三角函数值有直接关系，故选A.

【点评】利用三角函数定义解题，关键在于搞清楚函数值与边的对应关系；搞清楚角的变化，引发哪条边在随之变化；同时还须搞清楚函数值在0°～90°范围内的增减性.

七、 利用三角函数进行综合探究

例9 （2007·安徽）如图4，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC，

（1） 求证：AC=BD；

（2） 若sinC=，BC=12，求AD的长.

【分析】本题是一道与锐角三角函数值有关的证明及计算题，要证明AC=BD，需要寻找含有∠B与∠DAC的直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义去证明.

（1） 证明：∵AD是BC上的高，

∴AD⊥BC.

∴∠ADB=90°，∠ADC=90°.

在Rt△ABD和Rt△ADC中，

∵tanB=，cos∠DAC=

，

又已知tanB=cos∠DAC，

∴=，

∴AC=BD.

（2） 解：在Rt△ADC中，sinC=，故可设AD=12k，AC=13k.

∴CD==5k.

∵BC=BD+CD，又AC=BD，

∴BC=13k+5k=18k，

由已知BC=12，∴18k=12. ∴k=.

∴AD=12k=12×=8.

【点评】当所涉及的这个角不在同一个直角三角形中时，可利用边与角的关系进行转换，以达到目的. 这种转化的思想方法在数学解题中会经常用到.

（作者单位：江苏省泗洪县第一实验学校）