巧用锐角三角函数定义解几何题

孙翔

锐角三角函数是初中几何的重要内容，是解直角三角形的基础，利用锐角三角函数定义解题，往往使计算方便简洁.

例1 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的三个三角函数值.

【分析】求∠BCD的三个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD是Rt△BCD的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD和CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案.

解：在Rt△ABC中，

∵∠ACB=90°

∴∠BCD+∠ACD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD+∠A=90°，

∴∠BCD=∠A.

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AB==10，

∴sin∠BCD=sinA==，

cos∠BCD=cosA==，

tan∠BCD=tanA==.

【评注】运用三角函数定义解题的关键是：确定所求的角所在的直角三角形，准确掌握三角函数的公式. 本题也可利用相似求出BD、DC，再利用三角函数定义直接求解.

例2 如图2，在△ABC中，∠B=45°，AD=5，AC=7，DC=3，求∠ADC及AB的长.

【分析】要求∠ADC的度数，可先求∠ADE的度数，而求出∠ADE的三角函数值即可求出∠ADE的度数. 过点A作AE⊥BC于点E，构造出直角三角形，利用三角函数的定义即可求出∠ADE的三角函数值，再利用三角函数的定义求AB.

解：过点A作AE⊥BC于点E，设ED=x，则有AE2=AD2-DE2=AC2-EC2，

∴52-x2=72-（x+3）2，解得x=，

所以ED=，

故cos∠ADE==，

所以∠ADE=60°，即∠ADC=120°，

又AE==，

所以AB==.

【评注】恰当地构造出直角三角形是利用三角函数的定义解决问题的一个重要方法. 同时要注意与勾股定理、相似等知识综合使用.

例3 如图3，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，若AD=AC，CE=BC，求证：∠1=∠2.

【分析】过点E作EF⊥AB于点F，分别求出∠1与∠2的三角函数值来说明它们之间的关系.

证明：过点E作EF⊥AB于点F，设AC=BC=3k，则CE=k，CD=BE=2k，AB=3k，

∵∠B=45°，

∴EF=FB=k，AF=2k，

∴tan∠1===，

tan∠2===，

∴tan∠1=tan∠2，

∴∠1=∠2.

【评注】用三角函数来证（解）几何问题，是把几何变换和复杂的推理转化为三角函数的运算，常可使题中各种量之间的关系变得简单明了. 在今后的学习中应多注意这种方法的应用. 注意在解题中常需作垂线，将其转化为直角三角形问题.

（作者单位：江苏省泗洪县第一实验学校）