解直角三角形不可忽视的问题

陈学

解直角三角形是初中数学的重要内容，是联系代数和几何的桥梁，也是为高中进一步学习三角函数打好基础，但不少同学初学某些性质、概念，因为理解不清晰，因此常常犯以下错误.

一、 忽视正弦、余弦的有界性

例1 计算 - cos40°+.

【错解】原式=-cos40°+sin50°-1

=sin50°-sin50°-

=-.

【分析】应注意锐角三角函数的取值范围，即：

00. 且在0<α<45°内，cosα>sinα；在45°<α<90°内，cosα

【正解】原式=cos40°-+1-sin50°

=sin50°-sin50°+

=.

二、 函数值与边长大小无关

例2 在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大100倍，那么锐角A的正弦值（ ）.

A. 扩大100倍

B. 缩小为原来的

C. 没有变化

D. 不能确定

【错解】A.

【分析】误认为锐角的三角函数值随着各边长扩大100倍，其也扩大100倍. 实际上，锐角A的三角函数值只与它的度数有关，与其所在的直角三角形的大小无关，即只要锐角A的度数确定，其三角函数值也随之确定.

【正解】C.

三、 概念理解不清

例3 如图1，甲在60米高的大楼上A点看地面C点的乙的俯角为30°，则乙到大楼的距离CB为______米.

【错解】∵从A点看地面C点的乙的俯角为30°，

∴∠CAB=30°，

∴CB=ABtan30°=20（米），即乙到大楼的距离CB为20米.

【分析】在上面的解题过程中，由于对俯角的概念不清楚，错将俯角认为是∠CAB，而实际上俯角的定义是视线和水平线的夹角，即∠DAC=30°，故正确答案是60米.

四、 勾股数的误用

例4 在直角三角形中，∠B=90°，a=3，b=4，求边长c的值.

【错解】由勾股定理得，c===5.

∴c=5.

【分析】在上面的解题过程中，习惯于3，4，5是一组勾股数，c=5前提是在∠C=90°的直角三角形中，而本题∠B=90°，∴b是斜边，故正确答案是c==.

五、 忽视双直角三角形

例5 已知在△ABC中，∠A=30°，AB=40，BC=25，则S△ABC=______.

【错解】如图2，过点B作AC的延长线的垂线，垂足为D，

∵∠A=30°，AB=40，

∴BD=20，AD=20，

又BC=25，∴CD=15，∴AC=20-15，

∴S△ABC=×20-15×20=200-150.

【分析】因为已知条件是“角、边、边”，根据学过的全等三角形的知识，我们知道，只具备“角、边、边”不能确定一个三角形，也就是说还有另一个三角形，即如图3的情况.

易知此时S△ABC=200+150，

正确答案为S△ABC=200±150.

（作者单位：江苏省泗洪县第一实验学校）