化“斜”为“直”

2015-09-10杨石波

初中生世界·九年级 2015年4期

杨石波

转化思想在数学中应用十分的广泛，我们在解决数学问题时，常将陌生的问题转化为熟悉的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，从而使问题获得解决，在解直角三角形时，许多问题中并不见直角三角形，而是通过构造直角三角形，即化“斜”为“直”的方法，将问题转化. 下面举例予以说明.

例1 如图1，在四边形ABCD中，DC⊥BC，若AB=100，∠A=45°，∠ABD=75°，∠CBD=30°，求BC的长.

【分析】此题含有两个三角形，其中一个不是直角三角形，可通过添加适当的辅助线（一般不破坏已知的特殊角），即过点B作BE⊥AD，垂足为E，从而化“斜”为“直”，将条件集中到Rt△ABE中来解决.

解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，在Rt△ABE中，∠A=45°，AB=100，sin45°=，所以BE=100×sin45°=50，∠ABE=45°，∵∠ABD=75°，∴∠DBE=∠CBD=30°，又BD=BD，∴△BCD≌△BED，∴BC=BE=50.

例2 如图2，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且CD=3AD，求tan∠DBC的值.

【分析】要求的∠DBC在斜三角形中，而tan∠DBC的值不能从给定的直角三角形中得到，故需将其转化到直角三角形中，作辅助线DE⊥BC，构造Rt△DBE来求tan∠DBC的值.

在条件中没有给出有关线段的长度，于是将已知条件中的CD=3AD中的AD用参数k来表示，并对其“设而不求”，这是一种常用的方法，这样让字母来参与运算，应用方便.

解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，并设AD=k，DC=3k，则AB=AC=4k，因为∠A=90°，所以BC=AC=4k，又因为∠C=45°，所以∠EDC=45°，DE=EC，在Rt△DEC中，sin45°=，所以DE=3k×sin45°=k，所以EC=DE=k，所以BE=BC-EC=4k-k=k，所以在Rt△DBE中，tan∠DBC==.

例3 已知，如图3，某班数学兴趣小组为了测量河两岸建筑物AB和建筑物CD的水平距离AC，他们首先在A点处测得建筑物CD的顶部D点的仰角为25°，然后爬到建筑物AB的顶部B处测得建筑物CD的顶部D点的俯角为15°30′. 已知建筑物AB的高度为30米，求两建筑物的水平距离AC. （精确到0.1米）

【分析】解题的关键是依据题意，通过作垂线构造两个直角三角形，利用三角函数将有关数据有机地联系起来.

解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，设AC=x，

在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠DAC=25°，

所以CD=AC tan∠DAC=xtan25°，

在Rt△BDH中，∠BHD=90°.

∠BDH=15°30′，

所以BH=DHtan15°30′=AC tan15°30′=xtan15°30′，又因CD=AH，AH+HB=AB，

所以x（tan25°+tan15°30′）=30.

所以x=≈40.3（米）.

答：两建筑物的水平距离AC为40.3米.

说明：解直角三角形的实际问题要注意两个转化：一是将实际问题转化为数学问题，二是将数学问题转化为解直角三角形问题. 此外掌握仰角、俯角的概念和一些特殊角的三角函数值也是解题的关键.