例说数学思想在解直角三角形中的应用

孙翔

数学思想是数学的灵魂，是学习数学、学好数学的有效媒介，其在解直角三角形中的运用也非常广泛，在此仅举一些简单事例如下：

一、 数形结合思想

在解直角三角形时，应该通过画图来帮助分析解决问题，通过数形结合的思想加深对解直角三角形本质的理解.

例1 已知tanA=，求sinA的值.

【分析】此已知条件可转化为：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求∠A的正弦值.

解：如图1，若设AC=4k，BC=3k，那么必有AB=5k，所以sinA==.

二、 方程思想

方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法.

例2 如图2，已知∠C=90°，AB=26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求BC的长.

【分析】图形中有 Rt△DAC和Rt△DBC，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=26不属于任何一个直角三角形，可以通过设BC=x，则AC=x+26，让字母参与运算，最后列方程求解.

解：设BC=x，

∵∠CBD=45°，∠C=90°，∴BC=CD=x，

在Rt△DAC中，∠DAC=30°，AC=x+26，

tan30°=，3x=（x+26），

x=，x=13（+1），

∴BC=13（+1）.

三、 转化思想

解直角三角形时，在某些问题的图形中你根本看不到直角三角形，这时需根据条件通过作辅助线构造直角三角形，将问题转化为直角三角形中的问题，然后利用直角三角形的相关知识解决问题.

例3 如图3所示，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠BAD=30°，∠ABC=60°，四边形ABCD的面积为5，求AD的长.

【分析】显然四边形ABCD中有特殊角∠DAB和∠CBA，且它们互余，延长AD、BC相交于点E，可得Rt△AEB.

解：延长AD、BC相交于点E，则∠E=180°-30°-60°=90°，

在Rt△ABE中，sin30°=，cos30°=，

由此可得BE=4，AE=4，CE=3.

S四边形ABCD=S△ABE-S△CED=×4×4-×3DE=5，

∴DE=2，AD=AE-DE=2.

例4 如图4所示，在△ABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的长.

【分析】欲求AB的长，但题目是斜三角形，且已知条件非常分散，所以若想用到角的条件，必须构造直角三角形，作BC上的高AD，把问题转化成解直角三角形.

解：作AD⊥BC于点D，设BD=x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，

∵∠B=60°，

∴AB=2x，AD=x，

DC==，

∴AB+BC=2x+x+=3x+=2，解得：x=.

经检验是原方程的根，则AB=2x=1.

四、 参数思想

例5 如图5，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值.

【分析】此题在条件中没有给出有关线段的长度，但已知比值，因此可根据已知条件中的比值1∶3引进参数假设有关线段的长度，进行求解.

解：作DE⊥BC于点D，并设AD=k，则DC=3k，AB=AC=4k.

∵∠A=90°，∴BC=AC=4k，又∠C=45°，

∴∠EDC=45°，DE=EC，

在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，

设DE=x，则x2+x2=9k2，

x2=k2，x=k（负值舍去），

∴DE=EC=k，

∴BE=BC-EC=4k-k=k，

∴tan∠DBC===.

五、 分类讨论思想

分类讨论思想就是针对数学对象的共性与差异性，将其分为不同种类. 要做到成功分类，要注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情景中抓住分类的对象；二是找出科学合理的分类标准，满足不重不漏的原则.

例6 在△ABC中，AB=2，AC=，∠B=30°，求∠BAC的度数.

【分析】原题没有给出图形，隐含了可能的条件，满足要求的三角形有两种情形，需要分类讨论.

解：过点A作AD⊥BC交BC（或延长线）于点D，

在Rt△ABD中，∠BAD=60°，

sin30°===，

所以AD=1，

在Rt△ACD中，

cos∠CAD==，

所以∠CAD=45°，

如图6，∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°，

或如图7，∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-45°=15°.

六、 建模的思想

解直角三角形在生产、生活中有着广泛地应用，这就要求我们能从实际问题出发去分析、构建直角三角形模型.

例7 如图8，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°. 已知AB=20 m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度.（结果保留根号）

【分析】本题是测量问题，可通过作CD⊥AB构建直角三角形模型进行求解.

解：作CD⊥AB，垂足为D，设气球离地面的高度是 x m，

在Rt△ACD中，∠CAD=45°，

所以AD=CD=x，

在Rt△CBD中，∠CBD=60°，

所以tan60°=，所以BD=x，

因为AB=AD-BD，

所以20=x-x，

所以x=30+10，

所以气球离地面的高度是（30+10）m.

（作者单位：江苏省泗洪县第一实验学校）