着眼问题，提升思维

潘君娥

摘 要： 《数学课程标准》（2011年版）的课程目标在原有“两能”基础上增加了“发现和提出问题的能力”。问题是数学的心脏，是思维的起点，问题来自学生的发现和提出。如何设计合理、开放的问题引发学生发现问题并提出问题，强化问题意识，使学生的思维品质在质疑的过程中不断发展，现以“二元一次方程组（第一课时）”的教学设计为例作阐述。

关键词： 问题 思维 教学设计

一、教学过程设计

环节1：经历发现并感悟二元一次方程的过程——明确研究对象。

问题1：在边长为1的正方形网格纸上画一个周长为20的长方形。

追问1：画好图形后相互交流，你有什么发现？

追问2：你所画的长方形的长、宽分别为多少？

追问3：只要满足什么条件就可画出周长为20的长方形？

追问4：由刚才操作得到的结论能否用一个数学式子给它表达出来呢？

师生活动：学生画长方形，再相互交流，教师让学生感受到该长方形的长、宽可以不同，而相同之处长与宽的和是10，并进一步引导学生用数学式子（x+y=10）表示出来。

设计意图：通过画周长为20的长方形过程中，让学生自主发现画出的长方形是不唯一的，即长、宽不定，周长确定（长与宽的和是一定的），引导学生把这种发现数学模型化，加深学生对二元一次方程本质的体验。让学生经历发现问题和提出问题的过程，激发学生解决问题的欲望。

环节2：参与定义二元一次方程的活动——形成二元一次方程的概念。

问题2：式子x+y=10是我们学过的一元一次方程吗？你能给它命名吗？

追问1：你能试着给二元一次方程下定义吗？

追问2：翻开书本，请同学们把这个概念圈起来，想一想，你觉得和我们自己归纳出来的概念有什么区别吗？

追问3：能举例说明吗？

师生活动：学生借助已有知识一元一次方程的经验进行类比学习，并分组交流，教师深入小组，参与活动，关注学生能否理解概念

设计意图：为加深学生对“含有未知数的项的次数”的内涵的理解，我采取的是阅读书本中二元一次方程的概念，形成学生的认知冲突，激发学生对“项的次数”的思考，进而完善学生对二元一次方程概念的理解。通过学生自己举例子的活动，把“项的次数”形象化。

问题3：判断下列各式哪些是二元一次方程？

（1）x+3y （2）x-3y =1 （3）2x-xy=1 （4）2x= -1

（5）m-3n=0 （6）5x+3=10

师生活动：学生独立思考后回答，教师引导学生说判断依据。

设计意图：概念的辨析，深化学生对二元一次方程概念的理解。

环节3：参与定义二元一次方程解的活动——形成二元一次方程解的概念。

问题4：类比一元一次方程的解的概念，你能归纳出二元一次方程的概念吗？

师生活动：学生独立思考，教师完善概念。

设计意图：让学生深刻体会二元一次解的本质——使方程左右两边相等的一对未知数的值叫二元一次方程的解。

问题5：对于方程2x+3y=10，你能求出它的解吗？

追问1：你能试着写几个吗？

追问2：这些解你们是如何算出来的？

师生活动：学生自主探索，可得方程2x+3y=10有无数组解。

设计意图：引导学生自主取值，目的有两个，一是让学生体会方程解的不唯一性，从而让学生产生后继学习的欲望；二是让学生感受如何得到一个正确的解：只要取定一个未知数的值，可代入方程算出另一个未知数的解。

环节4：参与定二元一次方程组的活动——形成二元一次方程组及解的概念。

问题6：周长为20的长方形的画法有很多种，能否让画出的长方形唯一确定？

追问：你能增加条件使其唯一确定吗？

师生活动：学生先思考，再分组合作，小组汇报，根据学生汇报，教师引导，从而引出二元一次方程组的概念——由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫二元一次方程组。

设计意图：教师设计合理、开入的问题引导学生发现问题并提出问题，让学生真正感受二元一次方程组的形成。

教师备用：

x+y=10x=8 x+y=10y=4x x+y=10y-x=3……

问题7：你怎么肯定，你增加的一个条件就一定使长方形唯一确定呢？

师生活动：学生结合表格获得结果。

设计意图：通过解决问题，让学生真正理解什么叫二元一次方程组的解。

问题8：判断下列方程组是否是二元一次方程组：

（1）x-3y=4x+2=2 （2）y=2x-10y+2x=2 （3）y +x=1x-y=3 （4）x=2x+y=3

问题9：

（1）方程组x+y=6x-3y=-2的解是：

（A）x=5y=-1 （B）x=2y=4 （C）x=5y=-1 （D）x=4y=2

（2）写一个解是x=4y=-2的二元一次程组

师生活动：学生独立思考后回答，教师引导学生说出依据。

设计意图：深化学生对二元一次方程组及解概念的理解。

环节5：参与尝试“应用”的活动——列二元一次方程。

《孙子算经》下卷第31题“鸡兔同笼”：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”？

师生活动：学生独立思考，列出二元一次方程组。

设计意图：让学生体验对于含有两个未知数的实际问题，可列二元一次方程组解决，其次使学生了解后继学习方向——解二元一次方程组。

环节6：参与回顾与总结的活动——进行合作反思与深化提高。

教师与学生一起结合以下问题回顾本节课所学的主要内容：

（1）本节课研究了哪些内容？

（2）本节课我们是如何学习新知识的？你觉得本节课后，我们将学习什么知识？

师生活动：学生回顾思考，用自己的语言围绕以上问题进行小结，最后教师总结。

设计意图：前一个问题引导学生回顾本节知识，深刻领悟类比思想，建模思想，后一个问题引导学生体会问题来自发现和提出，了解后继学习方向。

二、课后思考

1.改变学习方式，引导学生发现问题。

问题是数学的心脏，是思维的起点，问题来自学生的发现和提出，然而我们的数学课堂上往往都是老师提出问题，学生解决问题。久而久之，学生形成了思维定势，发现不了问题，也提不出问题。本节课若以引言的“篮球联赛”情境引入，则学生自然而然列出二元一次方程，问题的数学模型是现成的，这样缺少了问题发现、问题提出，缺少了学生对二元一次方程本质的深刻体验。学生通过画周长为20cm的长方形，相互交流后自主发现长方形的形状不唯一，而相同之处是长与宽的和不变，都是10，引导学生将这种发现数学模型化（x+y=10），深刻感悟二元一次方程的本质。教师在课堂上应留给学生充足的时间和空间，让学生合作探究、交流互动，注意让学生去思考、去讨论，让学生发现问题、提出问题，再解决问题，让每个学生都有展示自己的机会。

2.营造浓厚氛围，促使学生提出问题。

爱因斯坦指出：“提出一个问题比解决一个问题更重要，因为解决问题也许是一个数上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正的进步。”在二元一次方程组概念的数学活动中，周长是20长方形画法有很多种，学生自己提出“能否让画出的长方形唯确定”的问题，有了教师“你能增加条件使其唯一确吗？”的追问，学生思考，分组合作，教师引导从而引出二元一次方程组的概念。对于学生提出的问题，要有宽容的态度，提得有深度、有深意的，要及时给予肯定、表扬，让他们分享成功的喜悦，提的简单、偏激的，应肯定其大胆行为，并就其提问的闪光点给予赞赏。教师通过层层递进的问题创设，使学生的思维品质在质疑过程中不断升华和发展，培养思维的严谨性和创造性。

3.恰切设问和追问，强化学生的问题意识。

高效课堂离不开教师的设问和追问，合理设问能增强学生的问题意识，及时而巧妙地追问才能指向学生的思维，从而揭示问题的本质。有了“式子x+y=0是我们学过的一元一次方程吗？你能给它命名吗？”的设问，“你能试着给二元一次方程下定义吗”的追问，学生才会借助一元一次方程已有的知识经验进行类比学习；有了“你怎么肯定，你所增加的一个条件就一定使长方形唯一确定吗？”的设问，学生真正理解了什么叫二元一次方程组的解。如《公式法》教学设计，我认为求根公式来源于配方法。

先让学生用配方法解二元一次方程：3x +6x-2=0

3x +6x=2

x +2x=2

x +2x=

x +2x+1= +1

（x+1） = +1

x+1=±

x=-1±

教师追问1：若将常数项-2变为-3呢？变为-4呢？

学生求出其解分别x=-1±

x+1=±

追问2：若将常数项-2变为-5，你能立即求其解吗？

学生发现规律，将4变成5，得出x=-1± .

追问3：你是否很想寻求一个公式求一元二次方程的解？

体现了公式法引入的必要性和重要性。

教师合理设问题，课堂上及时追问，对培养学生的思维，激发兴趣能起到促进作用。

4.合理思考问题，感悟数学思想。

日本著名的教育家米山国藏指出：“作为知识的数出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法等，这些随时随地地发生作用，使人们终身受益。”如何理解它的概念，因此本节课采用类比的学习，类比一元一次方程学习的一般思路，类比着下定义，然后与教材中的完整定义相互比较，发现不同点，做出从一元到二元的转化，提高对二元问题的认识。环节5出自著名的“鸡兔同笼”问题，让学生感受生活，体验对于含有两个未知数的实际问题，建立数学模型（二元一次方程组）。整节课学生积极参与，思维和能力都得到了较好的发展。

参考文献：

[1]数学课程标准（2011年版）.北京师范大学出版社.

[2]潘云芳.许芬英.强化问题意识 积累解题经验.中学数学教学参考，2014（6）：24-28.

[3]庞彦福.着力问题意识 促进思维发展.中学数学教学参考，2014（3）：27-29.