数学活动经验积累常见问题的成因及对策

陈春银

当前，广大教师对积累数学活动经验的重要意义已经有了一定的认识，能够比较自觉地在实践中多途径、全方位丰富学生的数学活动经验。但是，在教学中我们也发现了一些常见问题，比如课堂上往往注重活动形式，表面上轰轰烈烈、异常活跃，实质上表现为假、大、空，学生未能从真正意义上获得具体而又深刻的活动经验。对此，教师有必要寻找问题产生的根源，进行正确的归因分析，并采取有效的对症措施，不断丰富和提升学生的活动经验，从而实现“四基”教学的高效化！

一、活动经验积累中常见问题及归因

（一）动手操作“机械化”，直接经验层次不高

数学活动经验是在“做”的过程和“思考”的过程中逐步积累的，有效活动经验的积累必须以有效的数学活动作支撑。在操作活动中，有意义、有目的、有序列的操作利于学生积累正确的操作活动经验，但是，让学生机械、生硬地操作则无助于学生直接经验的有效积累。课堂上，我们常常看到这样的情况：教师预先设计好操作步骤，让学生借助操作活动积累活动经验，建立正确的表象。但一些学生只动手操作却不能主动思考，只是被动、机械地完成规定程序。

比如在教学“平行四边形的面积计算公式”时，一位教师进行了这样的教学设计，要求学生进行如下操作：

（1）沿着平行四边形的一个顶点画一条高；

（2）沿高剪出一个三角形和一个梯形；

（3）把三角形沿着平行四边形的一条底平移，拼成一个长方形。

接着教师让学生观察剪拼前后什么不变？并思考：怎样推导出面积计算公式？在这样的活动中，学生按部就班完成了规定的操作任务，但是否从真正意义上形成较高层次的“活动经验”呢？

思考一：学生按图索骥，只知道画高，但为什么要沿着高剪开，他们并没有去体会这样剪拼的目的。

思考二：沿着平行四边形四个顶点中的一个顶点画高，这只是一种剪拼的路径，教师设计的固定路径是否限制了学生的思维？事实上，还可以剪出两个直角梯形去拼，路径是多样的。

由此可见，学生在操作活动中缺乏主动思考和创造意识，只是被动完成程序，在教师指定的路上行走，多样化的路径以及多样化中的优化过程被简单化，学生“动”而不思，难有经验可言或者经验的层次不高。

（二）关系理解“肤浅化”，思维经验活性不够

数学是研究数量关系和空间形式的科学。学生在理解数量关系、空间形式时，往往未能真正地理解它们的特征，尤其没有深度构建内在联系。显然，这样的活动经验建构得不够深刻，没有形成一定的活性。

比如教学这样的一道题：从甲地到乙地，一辆汽车去时平均每小时行80千米，回来时平均每小时行100千米，求这辆汽车来回平均每小时行多少千米。

大部分学生不假思索地列式：（100+80）÷2=90（千米）。他们是这样理解数量关系的：（去时平均每小时行的千米数+回来时平均每小时行的千米数） ÷2=90（千米）。这样的理解反映了学生对平均数“移多补少” 体会的粗浅，他们确信这种经验是正确的，但恰恰反映了学生思维经验的局限性和片面性；另一方面也表明了学生对去时平均每小时行的千米数、回来时平均每小时行的千米数与来回平均每小时行的千米数没有区分开来，没有从这道题的已知信息出发，真正理解“移多补少”的内涵和这类题的关系特征：总路程÷总时间=平均数，而总路程和总时间都是未知的，可以通过假设法、列方程法等来解决问题。学生正确的经验并未真正积累，需要教师加以比较，引领学生形成正确的经验。

（三）问题解决“盲动化”，数学经验比较缺乏

生活中的一些问题转化为数学问题之后，由于现实生活与学生认知实际存在一定的差距，或者学生对生活情境的无动于衷，造成一些学生看似处于解决问题的状态，但实质上经验储备“一片空白”，处于不理解的状态，解决问题时显得盲动，未能构建解决问题的模型。

笔者曾教过这样一名学生，他的父亲是开出租车的，每天送孩子到校上课。有一次，笔者出了这样一道题：王华乘出租车去5千米处的新华书店购买书籍，出租车起步价8元（3千米以内），以后每增加1千米付1.5元。王华一共付了多少元？

大部分同学都顺利地解决了问题，这名学生直接列式：8+1.5×5。我很纳闷：为什么每天置身于“乘车情境”体验乘车生活，却不能正确解决这样的实际问题呢？而一些学生很少乘车，却能够建构模型呢？

事实表明，有乘车经历的学生不一定有解决实际问题的经验，如果不能主动地思考，依然不能形成丰厚的数学活动经验。

（四）差错辨析“模糊化”，融错教育流于形式

在教学中，不少学生在教师的指导下对于学习中出现的差错虽然能够纠正，但这样的纠正往往浮于表面，主要表现为：关注结果、忽视过程，对错误的原因没有刨根问底；依葫芦画瓢、未主动建构，订正过程流于形式；等等。由于学生未能认真有效地反思，这样的活动有过程但无活动经验的积累，因而这样的教学是低效的。

二、解决问题的主要对策

（一）引领自主操作，在比较优化中提升活动经验

对于操作活动而言，如果只有动手体验，没有抽象提炼的过程，将动手操作沦为课堂的一种表演方式，这样的活动是徒劳而无益的。因此，在教学活动中要强化培养学生的动作思维，帮助学生积累丰富的活动经验。

以教学“三角形的内角和是180度”这一知识点为例。

一是应当让学生明确操作的意义，即“为什么这样操作”，进而引领学生自行设计活动方案，对操作方法有所体验和感悟，以利于学生实施迁移。教师可以先组织学生交流：三角形按角分类可以分成哪几类？猜想一下： 为什么有一个角是直角或有一个角是钝角时就能确定三角形的类型呢？很可能与三角形的什么有关？学生往往作出这样的猜想：可能与三角形三个角的和有关。教师继续抛出问题：要探索三角形三个角的和，你准备怎样设计研究方案？学生通过交流，设计了这样一些方案：先准备一些不同类型的三角形，然后量一量每个角的度数，再相加；还可以先折一折，将三个角拼在一起，看组成一个怎样的角（设计这种方案的学生相对较少）……通过设计活动方案，学生积累了活动经验，对活动的目的有了清晰认识，对操作过程有了自主的设计。

二是探索不同的操作路径。教师要启迪学生思考怎样操作的问题。在各个小组，学生自己选择方法进行研究，有的采用量一量、算一算的方法；有的采用拼一拼、比一比的方法。在量一量、算一算的活动中，教师为各个小组提供了不同类型的三角形，便于学生进行丰富而深刻的探索。学生通过操作又产生了新的问题：三角形三个角的和接近180°，但不一定正好是180°，有的学生认为：三角形的内角和一定是180°。教师继续抛出问题：看来，利用算一算的方法还具有一定的误差！那有没有其他操作的方法呢？有的小组展示了折一折、撕一撕（这样操作的学生并不多，教师可以激励学生展示评价）的过程，将三个角拼在一起，形成了一个平角，一个平角是180°，所以三角形的内角和也是180°。为了进一步验证，教师借助多媒体进行了拼角过程的演示，让学生形成了正确的表象。

三是注重操作方法的优化比较。学生真正意义上的积累活动经验，还在于他们主动寻求有序操作并优化操作过程。在教学“三角形内角和是180度”之后，一名教师设计了一个富有挑战性的问题：如果给你一个任意的四边形、五边形等，你能设计出求内角和的研究方案吗？学生设计了这样一些方案：可以先量一量各个角的度数，再相加；还可以折一折或撕一撕，看拼成的角是一个什么角（学生自问：如果大于一个周角怎么办？）；也可以先分一分，看能不能分成几个三角形，再用三角形的内角和乘三角形的个数；等等。经过思辨发现：随着角的个数的增多，量一量、拼一拼的方法都比较麻烦，将这些多边形分成一些三角形进行研究比较快捷。

显而易见，操作经验的获得不仅仅是靠学生简单的操作一下就行的，而是建立于明确操作目的、精设操作方案、尝试多种操作、比较优化方法等系列活动之中，只有这样，经验的积累才会丰富、深刻并富有意义。

（二）启迪准确分析，在拓宽思路中丰实活动经验

在解决实际问题的活动中，学生分析数量关系、主动建构模型的经验不足，教师应从学生认知实际出发，引领学生准确分析数量之间的关系，促进学生主动建构模型，不断丰实活动经验。

如以下面这道题的教学为例：两个小队一共植树105棵，其中第一小队植树棵数是第二小队的。两个小队各植树多少棵？

教师可以先启迪学生思考：由“第一小队植树棵数是第二小队的”你想到了什么？在小组里交流。

学生出现了各种各样的想法：第二小队植树棵数是第一小队的；两个小队一共植树棵数是第二小队的（1+）；第一小队植树棵数是两个小队植树总棵数的， 第二小队植树棵数是两个小队植树总棵数的； 设第二小队植树x棵，则第一小队植树x棵，两队一共植树 （1+）x棵……

教师继续启迪学生从不同的角度寻找数量之间的关系，学生思维活跃，解决问题的路径多种多样，如：

用整数方法解决：

第一小队：105÷（2+5）×2

第二小队：105÷（2+5）×5

用按比例分配的方法解决：

第一小队：105×

第二小队：105×

用分数知识解决：

第二小队： 105 ÷ （1+）

用方程解决：

解：设第二小队植树x棵

x+x=105

在这样的活动中，学生从不同角度分析数量之间的关系，体验了不同方法的运用，生成了多种解决问题的路径，获得了多样化的基本活动经验，为学生解决更复杂的数学问题、深度理解数量关系提供了经验基础。

（三）注重联系实际，在建构模型中升华活动经验

教学实践表明，生活中的一些问题转化为数学问题之后，一些学生看似解决了，但他们只是“就事论事”，解决问题或是不合情理，或是不够优化。

由于部分学生对这样的“实际生活”缺乏体验，他们建立了这样的模型：每次玩个人项目，尽可能每个项目付出的钱数要少，所以绝大部分学生的解答是打水球、水上射击、参观水族馆（或游泳）等。

针对这样的问题，教师可以创设一个模拟现实情境，并让学生进行小组交流：在生活中坐船时，是一个人单独坐船，还是几个人合坐一条船？租金怎样分担？

通过交流，学生意识到：也可以参与一些集体项目， 每个人可以平均分担租金。解决问题的模型发生了质的变化：由“每次参加单人项目、尽可能选择付出钱数少的”到“既可以参加集体项目也可以参加个人项目、尽可能选择付出钱数少的”。

数学离不开生活，活动经验来源于对生活的思考。在教师的引领下，学生解决了问题。8÷4=2（元），6÷2=3（元），10=2+3+2+3。因此，最多可以玩四个项目。

由此可见，教学中教师必须联系学生的生活实际，让生活经验促发学生的数学思考，从而促进学生主动建构解决问题的模型。

（四）巧妙实现融错，在辨析矫正中深化活动经验

教学中学生会生成许多错误，教师如果充分利用这些“差错”资源，让学生进行辨析、矫正，经历思辨、比较过程，可以有效提升学生的思维经验。

在六年级教学中，对于“正方形的面积与边长成正比例吗”这一论题，学生的初始练习错误率达40%左右，一周后再次练习错误率依然较高。学生一错再错，这表明了学生活动经验尤为肤浅。究其原因，从审题方面看，有的学生审题失误，将面积看成周长；从思维层面看，有的学生思路不畅，对面积与边长的关系含糊不清；从纠错态度看，有的学生应付了事，写个答案算了；当然，还可能有其他原因。不妨从以下几个维度帮助学生构建经验。

经验之一在于对意义的深度理解。正方形的面积与边长是两种相关联的量，关键是看相对应量的两个数之比的比值是否一定（如下表）。

经验之二在于辨析知识点易混处。对于正方形的面积与边长、正方形的周长与边长而言，它们之间的关系有怎样的区别？要让学生对两个关系进行比较：

正方形的面积÷ 边长=边长

正方形的周长÷边长=4

通过比较可以发现：正方形的面积除以边长，比值表示边长，边长在变化，不符合正比例的意义；而正方形的周长除以边长，商4，比值一定，所以正方形的周长与边长成正比例关系。

经验之三在于审题的认真细致。引领学生观察，在解决问题时，要细心审题，不能屡错屡犯。

总之，数学活动经验的积累是教学的重中之重，教师不仅要善于发现问题，进行归因分析，还要善于寻求有效的方法对症下药，促进学生活动经验不断积累，学习水平不断提高，从而实现教学的新境界！

（江苏省如皋经济技术开发区实验小学 226500）