数学模型思想的渗透

刘东旭

在小学数学教材中，模型无处不在。小学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。在小学数学教学中，重视渗透模型思想，可以帮助学生建立并把握有关的数学模型，有利于学生把握数学的本质。

小学数学中的数学模型，主要的是确定性数学模型，广义地讲，数学的概念、法则、公式、性质、数量关系等都是模型。数学模型具有一般化、典型化和精确化的特点。模型思想就是针对要解决的问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。

现以 “鸡兔同笼”为例，谈一谈如何让小学生形成数学模型思想的思考。

众所周知，“鸡兔同笼”问题的数学模型是二元一次整数方程，然而，在小学里学生并不学习二元一次整数方程。可是，“鸡兔同笼”却被广泛地运用到小学教材中。北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用，而我们使用的北京版数学教材则是分两次安排的。第一次出现是在四年级下册教材中，重点介绍用画图和列表法解决问题，虽然算式法没有呈现，但是已经“水到渠成”；第二次是在五年级教材中，出现了列方程的方法。教学这些内容时，如果仅是就题讲题，就课本讲课本，难免显得过于简单和浅薄。那么，对小学生的数学学习而言，“鸡兔同笼”是否还隐藏着“模型”因素呢？在教学中，笔者引领教师进行了尝试。

一、走进情境，获取信息

以数学文化的介绍引入教学：在一千五百年前，我国古代有一本数学巨著叫《孙子算经》。书里边有一道数学趣题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡、兔各几何？”这道题世代相传，甚至漂洋过海，传到日本等很多国家，历经千年而不衰。激发学生兴趣，揭示学习内容，引发学生思考。

二、搭桥引模，形成策略

教学分为三个层次，从头的数量为较小数开始。

1.一个笼子，从上面看有3个头，从下面看有8条腿，鸡有几只？兔有几只？由于给定的头数和腿数的数据比较小，教师是这样引导的：“你们猜猜看，鸡和兔各有几只呀？你们是怎样想的呢？说说你的想法。”留给学生思考的时间。

生：鸡有2只，兔有1只。因为1只鸡有2条腿，我想2只鸡就有4条腿，还剩4条腿，那就是1只兔子。

生：我用画图表示的。

2.一个笼子，从上面看有6个头，从下面看有20条腿，鸡有几只？兔有几只？要求学生根据上面那道题的想法，自己喜欢用哪种方法就用哪种。可以猜一猜，可以画一画，也可以算一算。

数据变大了一些，有的学生从猜出发，从1只鸡5只兔开始；有的学生从3只鸡3只兔开始；有的学生从1只兔5只鸡开始。老师帮助学生把这种猜测、枚举的思路整理成一个表格的形式，就成为列表法。

有的学生直接用了画图的方法，把6只都看成是鸡，或把6只都看成兔。

这时，教师引导学生发现列表法和画图法之间的联系——方法不同，实质相同，都是运用了假设的方法。结合学生的画图法，帮助学生梳理思考方法，形成策略。

（1）看成鸡（或兔），算算有多少条腿。

（2）与题中的腿数比较，再算算相差多少条腿。

（3）调整，添上或去掉腿数。

（4）求出数量，标清鸡兔各几只。

3.一个笼子，从上面看有8个头，从下面看有26条腿，鸡有几只？兔有几只？要求学生自选方法，独立解答。由于学生有列表法和画图法作支撑，知道了方法之间的内在联系，即假设的思路。所以独立解答这道题时，算式的列法已“水到渠成”。学生不仅算式列得好，而且说理清楚明白。

8×2=16（条）

26-16=10（条）

4-2=2（条）

兔 10÷2=5（只）

鸡 8-5=3（只）

教师的这三个层次的设计，数据从小变大，方法由繁到简，但是其核心思想是一致的，都是“假设的思路”。“鸡兔同笼”的解题策略基本形成。

三、抽象概括，建立模型

在数学学习过程中，抽象与概括是数学能力、数学思想的核心要素之一，是形成方法、得出规律的关键性手段，同时也是建立数学模型最为重要的一环。抽象是从许多事实或现实中，舍去个别的、非本质的属性，而抽取出共同的、本质的属性。在数学中表现为抽取数量之间、空间形体之间的关系。当学生在头脑中形成各种具体的图式表象后，教师还应引导学生进一步抽象和概括，在理解的基础上进一步内化并掌握数量关系。

在学生能初步用假设思路解答“鸡兔同笼”问题后，笔者要求教师要注意引导学生关注“鸡兔同笼”这类题本身的题型结构特征，即：已知两个未知量的和以及两个未知量之间一定的量值关系，求未知量；其次是教师要引导学生理解解答方法，即“假设法”的一般解题思路；三是教师要引导学生深入思考，“生活中你见过有人把鸡和兔放在一个笼子里养殖的吗？就是放在一起养殖，也没有谁去做数头数脚这种无聊的事吧。我们的老祖宗干嘛煞费苦心地进行研究呢？一千多年过去了，为什么鸡兔同笼这道数学题还作为宝物似的流传到今？”

在学生对所提问题一时困惑皱眉时，教师提议带着这个问题来继续进行“龟鹤同游”和“人狗同行”的研究并再次提出疑问：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？经过研究和比较，学生发现：“鸡兔同笼”不只是代表着鸡、兔同笼的问题，有很多类似的问题都可以看成是“鸡兔同笼”问题，如人马问题、牛鸡问题、汽车和自行车的轮子问题，等等。随后，师生共同研究“信封里放着5元和2元的钞票，共8张，34元，信封里5元和2元的钞票各有多少张？”探讨其与鸡兔同笼问题的关联。经过比较和猜想，学生的认识再次提升：“这里的2元的钞票就相当于鸡有2只脚，而5元的钞票就相当于兔，是5只脚的怪兔。”最后，教师让学生联系生活，将一些实际问题编成“怪鸡”“怪兔”同笼的数学问题并解答。

到了课堂总结时，屏幕上第三次出示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？学生总结感受之后，教师顺势给予强化：从一个具体的数学问题出发，研究解法，并上升到一种模型，最后进行广泛的运用，数学就是这样发展起来的。同样，如果我们在学习各种数学问题时能有“模型”的意识，举一反三，触类旁通，我们必将会走向数学学习的自由王国。

上述教学通过对“‘鸡兔同笼’有什么独特的魅力？”这一问题的三次追问把整节课串联起来，虽然每一次追问的层次和目标是不一样的，第一次是针对具体的、“原生态”的鸡兔同笼问题发问，主要是激发学生的探究欲望，向更高的学习层次迈进；第二次是进一步明确“鸡兔同笼”问题的结构、模型，同时，又让学生经历更高层次“数学化”的过程；第三次是帮助学生实现完整的“模型”建构，实现“形式的”数学知识向现实生活的“复归”，但是，其核心都是让学生从“模型”和“建模”的角度来亲近数学，了解数学。站在“高点”再回望探究之旅，学生更加深入地认识了数学。当然，这个过程不是一节课就能够完成的，在第一阶段可以分2～3课时完成。

数学在本质上就是在不断地抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。这种“深入”，就小学数学教学而言，具有鲜明的阶段性、初始性特点，它更多地是指用数学建模的思想和精神来指导数学教学，从而达到“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而使学生在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展” 的目的。

（北京市通州区教师研修中心 101100）