“子弹”与“射线”，风马牛不相及？

薛丽敏 严育洪

“望”：病例观察

“射线、直线的认识”是苏教版教材四年级上册的内容，下面是一位教师对该课的教学片段。

教师课件演示：黑夜里，手电筒的开关打开，对着墙面。复习以前学过的线段，强调线段有限长。

教师接着课件演示：将手电筒的光线射向远方。学生描述光线特点，如直直的、没有尽头等。教师揭示：手电筒的光源——灯泡，我们可以把它看作一个端点，它射出的光线向外无限延伸，像这样的光线就可以看作是射线。然后教学射线的画法和特征，强调射线无限长。

教师随之出示教材夜景灯光图，然后让学生列举现实生活中射线的例子，有一位学生举例：“子弹射出的是射线。”

教师颇感意外，想了一会这样评判：“子弹最终要掉下来的。所以它不是射线。”

……

教师接着课件演示：把两个手电筒尾部相连，同时打开，得到一条直线（如下图）。当教师讲到直线没有端点时，一位学生嘀咕：“明明有一点，怎么说没有呢？”

最后，教师沟通线段、射线、直线之间的联系：直线里可以取出线段和射线，因此线段和射线可以看成是直线的一部分。

……

教学进入练习环节。在判断题中有一题是：小明画了一条10厘米长的射线。学生都能正确判断：因为射线无限长。在操作题中有一题是：过一点可以画多少条直线？过两点可以画多少条直线？在汇报“过两点可以画多少条直线”时，有一位学生说：“可以画许多条直线。”在哄堂大笑中，教师重新换人得到了正确答案。

……

“问”：病历记录

课后，笔者找来那位举例“子弹射出的是射线”的学生进行回访：“你对老师的答复满意吗？”

学生如此解释：“子弹最终会掉下来，我想灯光最终也会暗下来。”以此表示对老师的不满意。

接着，笔者又找来那位认为“过两点可以画许多条直线”的学生进行核实：“你怎么想到可以画许多条的？”

这位学生捏着衣角说：“我想，铅笔削得越细，直线就可以画得越多。”原来作业纸上教师给的两个点画得比较大。

最后，笔者又找来一些学生，给他们出了这样一道题目：“射线与直线，谁长？”

结果只有2人答对，其余大多数认为直线比射线长，理由是“射线是直线的一部分”，还有一些学生认为直线和射线一样长，理由是“直线和射线都无限长”。

笔者转而问上课教师一个问题：“你觉得你课中说的‘射线可以看成是直线的一部分’，对吗？”

上课教师沉思了一会：“现在想想，我也感觉好像不对。但教学资料、别的老师都这么说，我也就这么说了。”

“哪里不对呢？”笔者追问。

“是啊，这也把我问糊涂了。射线和直线都是不可度量的，怎么还有‘射线是直线的一部分’这种说法呢？”上课教师感到困惑，顿了一会，补充道：“不过，语句中用了‘可以看成’，是不是说这不是真的，只是假设吧？”

……

“切”：病理诊治

点、直线是原始概念，不能严格定义，描述它们的办法是用公理来刻画。在《几何原本》中，只有直线的定义，没有给出线段的定义。小学对线段、射线、直线都是凭借直观认识，即使到了初中还有许多这样直观的“定义”，如江苏科学技术出版社出版的七年级教科书中，线段的概念是这样出现的：两点之间的所有连线中，线段最短，然后用画图的方式指出图中的什么线是直线。

在具体教学中，既可以从线段出发，延长一端成射线，延长两端成直线，也可以从直线出发，截取一端成射线，截取两端成线段。虽然可以由“此”及“彼”，但它们都是抽象的结果，彼此之间并没有什么“血缘”关系，不存在上述由线段得到的射线、直线还是由直线得到的射线、线段等“推理”问题。

在美国的《发现几何》和俄国的《直观几何》中是先定义直线，再用直线定义线段。而在许多小学教材（包括苏教版教材）中，先教学线段，再由线段引出射线和直线，那是考虑到线段能够在生活中找到原型，其有限性学生也容易理解。

上述课例中，一位学生举例“子弹射出的是射线”，教师的回应是“子弹最终要掉下来的。所以它不是射线”，这样的反对理由并不能让人信服，这从课后那位学生的不满可以看出。因为数学中研究的射线和直线在现实生活中是不存在的，“只能存在于人们的想象之中”，我们只能把某些线近似地看作射线，如太阳光线、射灯的光线、x光射线甚至上述课例中的手电筒的光线等等。实际上，生活中的这些“射线”都有尽头，手电筒的光线更不用说，严格地说，它们都是线段。数学源于生活但又高于生活，数学不完全等同于生活，数学中所说的“射线”与生活中所说的x光射线的“射线”并非一回事情，数学中所说的“直线”与生活中所说的“直线”也并非一回事情（生活中所说的“直线”常常说的是“直的线”，也就是数学中的线段）。所以用“子弹最终要掉下来”的解释来推翻学生的举例，缺乏充足的说服力，可以被学生“灯光最终也会暗下来”的类比轻而易举地推翻。

在上述课例的练习中，学生出现了“过两点可以画许多条直线”的知识错误，根本原因就在于“数学不完全等同于生活”。数学中，点是没有大小的，线是没有粗细的，而生活中，点常常画得有大小，线常常画得有粗细。许多教师不明就里，为了让学生关注或为了让学生注意，在黑板、投影或作业纸上人为地把点画得很大、把线画得很粗，结果让学生误以为点有那么大、线有那么粗，于是就产生了“铅笔削得越细，直线就可以画得越多”这种想法。由此要提醒教师的是：要选取更接近数学的生活原型，例如选用红外线射出的光线要比手电筒射出的光线更好——点更小，线更细。另外，如果呈现了手电筒以及情景图中射灯那么粗的光线，教师应该及时细化，抽象出一条线。

对“点的无限小”和“线的无限细”，从上述课例中学生的哄堂大笑和教师重新换人回答的行为表现可以看出，教师和学生普遍存在理解困难。对此，教师可以通过以下方式让学生来体会“点的无限小”：在三角形ABC中（如下图），线段BC比线段DE长，按照一般思维，如果点有固定大小，那么线段BC上的点要比线段DE上的点多，然而，从A点向BC边上的任意一点连线，DE边上都有一点与之对应，例如G点与F点对应、I点与H点对应。理解了“点的无限小”，“线的无限细”也就迎刃而解。

如果说对“点的无限小”和“线的无限细”，在小学教学中只需点到为止，那么对“线的无限长”，本节课却绕不开了。从课后多数学生回答“直线比射线长”的错误中可以看出，学生对“无限长”的理解还是模糊的，并没有真正理解“无限”的含义。当然，教师也不能排除学生受前一个教学环节的影响，教师在沟通线段、射线、直线之间联系的时候，采用了在直线里截取射线的做法，由此得到“射线是直线的一部分”的结论，这样的做法和说法很容易让学生误以为射线比直线短。另外，直线可以向两端延长，而射线只能向一端延长，也可能给学生造成错觉。

学生的认识困难也常常源自于教师的认识困惑——“射线和直线都是不可度量的，怎么还有‘射线是直线的一部分’这种说法”，虽然许多教师在沿用别人的说法，其实心里是打了问号的。实际上，分析无限量之间的关系，要摆脱有限量的比较——“部分小于整体”的观点束缚，运用有关理论来分析无限量：从集合的角度看，直线和射线可以看作两个不同的点集，射线集合中的元素都包含于直线集合之中，所以射线集合是直线集合的真子集。因此，“射线是直线的一部分”是正确的，并非像上述教师所认为的只不过是“可以看成”。这如同可以说“自然数可以分为奇数和偶数”，但不能说“自然数比偶数多”。因为偶数、自然数的个数都是无限的。如果给出一个自然数 n，总会有一个偶数 2n 与它对应（如下图），即自然数和偶数是一一对应的关系，所以它们应该是一样多。另外，上述三角形ABC中，虽然线段BC比线段DE长，但线段DE上的点与线段BC上的点一样多，也可以间接说明这种有限与无限的问题。

那么，在本课教学中，教师怎样可以更好地让学生体会射线和直线的无限长呢？一般教师的做法是让学生想象，为了渲染效果，让学生闭上眼睛听教师诗一般的引导语——“这条直直的线，继续延伸，穿过了美丽的校园，继续直直地延伸，穿过了美丽的××市，继续延伸……穿过了广袤的原野，继续延伸……穿过了波涛汹涌的大海……继续延伸……延伸……”教师的语气由强慢慢变弱，由急慢慢变缓，引导学生感受“无限”。对于小学生来说，还无法从较为理性的方面去认识无限，只能通过这种感性的知觉去体会。

其实，这种“看不见”的想象是可以外化和显化的，在本质上，射线和直线可以看成点的无限延伸。首先，教师可以从线段开始让学生感受到线是点的集合。先出示两个点（如下图），用多媒体演示连点成线的动态过程，并指出为了说明线段的“有头有尾”，在数学上一般要标出端点。以此换一个角度让学生重新认识已经学过的线段。

此时学生也就明白，正因为线段“有头有尾”，所以有限长，才能测量长度。之后，教师用多媒体把一个端点继续延伸形成不同长度的线段，让学生体会端点的符号意义。

有了前面的基础，教师就可以对线段从新开始、从头开始做全程的动态演示：由一点开始，向一个方向延伸，到一点结束，这样的“有始有终”就形成了一条线段。然后顺着这个思路，射线就是这样的点的运动：由一点出发，向一个方向无限延伸，永远不停止，没有终点，这样的“有始无终”就形成了一条射线。接着，教师就可以让学生把想象中的这条射线画出来。受限于纸面，学生会想办法表示出射线的无限，凭经验可能会出现如下表征方式：

当然也可能有学生受前面环节的启发，以不标端点来表示无限长，从而直接想到射线的一般画法。为了强化学生对射线无限长的认识，教师可以画出“长短”不同的射线，让学生辨析长短，从而认识到射线没有长短，不同“长短”的射线都表示无限长。

由光线引入体现了从生活走向数学，也就是我们所说的横向数学化，而现在由点引入则体现了纵向数学化，可以避免学生受光线粗细、发散、容易被阻挡等非本质属性因素的影响。小学教学中，两者可以互为补充。

前面说到线段、射线、直线之间没有“血缘”关系，它们相互独立。而一旦数学教学把静态的结果化的结论变成动态的过程性的教学情境、任务的有机串联，之后，它们之间似乎就有“血缘”关系。可以说，这里是点的运动把它们紧紧地连接在了起来。

如果把射线形象地看成“射出”的点的轨迹，那么上述课例中学生所举的“子弹射出的是射线”例子与灯光情景相比，更容易让学生“看到”点（子弹头）动成线（子弹头射出的轨迹）的动态过程。由此可见，这个例子是一种很好的生成资源，教师应该开发利用。

一旦突破射线的无限性，直线的教学就轻而易举了，没有必要再像上述课例那样依然靠“手电筒”这样的生活原型来引出直线概念，完全可以直接从相关的数学概念导出：第一种方案是把线段的两端无限延伸，第二种方案是把射线的另一端无限延伸。为了让学生对线段、射线、直线三者关系有一个整体的认识，可以把这两种变化方式都列入教学环节中，一个可以作为新知的引出，一个可以作为新知的巩固。至于哪一个为先，从知识上看，都能接得上，从环节上看，由刚教的射线知识引出的第二种方案可能更为自然。当然，最后还可以这样演示：由一点出发，向两头无限延伸，这样的“无始无终”就形成了一条直线。

上述课例中，在从手电筒引出直线时，一位学生嘀咕：“明明有一点，怎么说没有呢？”这是教学概念与实际现象相脱节的缘故，也是心理学中的“沉锚效应”。在心理学中，我们的行动、决策、价值判断等常常易受第一印象或第一信息支配，就像沉入海底的锚一样把人们的思想固定在某处，这就是“沉锚效应”。确实，受前面所学的线段、射线端点的影响，学生要能够区分“点”与“端点”是有一定的难度。所以，我们应该一开始就留给学生正确的第一印象，而点动成线的直线形成方式就能够很好地做到这一点。

接下来紧连着“在直线上截取线段和射线”这一教学环节，可以由刚才的“延长”行为反向成现在的“截取”行为，让学生对线段、射线和直线三者关系的认识更全面、更深刻。这样，像课后访谈那样，学生可能会对“线段和射线是直线的一部分”这种说法产生错误理解，解决之策是，在这一个教学环节之后，教师应趁热打铁，出示“射线与直线，谁长”这一问题让学生思辨。与单纯的“小明画了一条10厘米长的射线”判断题相比，这一问题更能够检测学生对“无限”的理解，使问题在第一时间内暴露并得到澄清。