精品教材需要精密的细节处理

张奠宙

近读一些小学数学教材，有一些细节的处理，不够精细。或前后不一，或言过其实，笼统疏忽之处，屡有所见。现略举几例，与教材的编者商榷。

一、关于分类中的一般与特殊

数学教学中，常常要将一些数或形进行“分类”。长期以来，我国习惯于单一地使用 “不重不漏”的原则，以至把一些特殊情形从一般情形中分离出来，使得彼此间的从属包含关系，硬说成是彼此对立的关系，造成人为的割裂。 例如：

1.整数不是分数，把整数和分数对立起来 （图1）。然而，明明整数是分母为1的分数，整数是分数的一部分。

2.小数等同于分数（图1）。这显然也是不妥的，无限不循环小数并不是分数。其次，整数不能和小数相对立，整数是小数部分为0的特殊小数。如果说，这里的小数也包括无限小数，那么整数更可以是无限小数了。例如 0.999… =1。

3. 平行四边形不是梯形 （图2）。事实上，梯形是四边形的一部分，平行四边形可以看作是梯形的特殊情形，三者依对边平行的组数多少形成从属关系（教材中“只有一组对边平行的四边形叫作梯形”的表述可以探讨）。

但是，另一方面，教材中又强调了如下关系（见图2）。

4. 正方形是长方形的特殊情形。

5. 正方体是长方体的特殊情形。

这样一来，同样是彼此间的从属关系，1，3 的判断和4，5 的判断恰好相反，令人无所适从。

事实上， 从属关系也是一种分类。例如，我国公民的户籍，就按照省（自治区、直辖市）、市、县、镇、乡、村 这样的等级从属关系分类。而在某一级里，再依不重不漏的原则分类（如省一级有31个不重不漏的划分）。

忽视这样的细节，人为地制造麻烦，需要改正。希望教材里再也不要把整数与分数对立起来了。

二、关于三角形的稳固性

小学数学教材的三角形单元，都会涉及稳定性的知识，但是在一些细节处理上却不够严谨。例如没有交代顶点处接头的特性。三角形的稳定性，是指在三个顶点处只是铰接情形下，也是稳定不动的。而说四边形是不稳定的，那是指四个接头都是可以活动的铰接（如活动门）。如果四个接头都是焊接或螺钉固接，它还能活动吗？因此，教材上必须画出这种铰接的方式。课堂上演示，则可以将两根木棒在顶点处钻小孔用铁丝穿过，作为转轴进行铰接。这种细节处理，不可省略。

更值得商榷的是，教材里以“加固摇晃的旧椅子”作为三角形稳定性原理的应用（见图3）。然而，这种“斜”钉木条的做法，会比“横”钉木条加固更加有效吗？恐怕未必。因为，这里的接头都不是铰接，而是固定的连接。椅子是立体框架结构，不是平面结构。人坐椅子时各个部分的受力情况，与框架的一部分是三角形还是矩形，没有直接的因果关系。再说，加固也要考虑美观。这类“斜”钉椅子的情景，还是去掉为好。

三、 关于验证与证明

人教社版四下68页（见图4），在探究四边形的内角和时，用了两种方法。一是将四边形的四个顶角剪下来拼成一个周角；二是把四边形分成两个三角形，用三角形内角和定理进行推理计算。接着，在“回顾与反思”栏目里写着“我们大家共同证明了所有四边形的内角和都是360°”。对于这样的回顾，我们可否做得更加细致、准确一些呢？剪拼的方法，是一种用数据证实我们猜想物理实验的方法。证实的过程要用到测量的数据，而测量数据是有误差的。我们利用数据稳定地发生在某数值附近的现象，作出证实某规律的结论。然而，分成两个三角形进行计算推理得出结论，则是一种严谨的逻辑证明。因此，我们在用词上要对“物理证实”和“数学证明”加以某种区别，而不要一锅煮，说成“共同证明”。当然，对于小学生而言，不必在理论上正面论述，只要适当地点一下就可以了。例如，不妨将前面引用的那段“回顾与反思”，改写为“我们用了‘测量证实’ 和‘数学证明’两种方法，都得到了四边形的内角和为360° 的结论”。

同样地，在计算不规则物体体积时，使用“排水法”进行测量，也是一种物理方法，和用数学方法给出规则物体的计算公式是不同的。事实上，只有小学数学里涉及测量。这种度量物体体积的物理方法，在中学的数学课本里，就不再使用了。

四、关于“是一倍”和“加一倍”

在“倍的认识”单元里，要谈的是一个细节问题：“一倍”的理解。翻阅人教社版三上数学教材，没有讨论这一问题。从数学上看，数A是数B的一倍，意味着A=B。然而，在日常生活中，“倍”的用法，含有增加到原数2倍的意思。如“产量增倍”“事倍功半”、农家“五月人倍忙”等说法，虽然只有一个“倍”字，却明显地并非“是一倍”的意思，而是“加一倍”的意思。这就是说，“是一倍”和“加一倍”之间有重要的区别。这虽事关语文表达，但为了避免误用，在数学教材里正面进行阐述，仍有必要。例如，不妨加上两句话：“如果A是B的一倍，那么A=B。如果A是在B的基础上加一倍，那么A =B+B=2B。”

这样的提醒，可以帮助学生在实际使用中避免错误。

总之， 教材要把每一个细节做到精心处理。这将体现作者对编写工作的责任心，也将反映作者为读者服务的诚心。